江西师范大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3、设 $n$ 为奇数，那么矩阵 $\left[\begin{array}{ccccc}a_{1} & & & & b_{1} \\ & a_{2} & & b_{2} & \\ & & \ddots & & \\ & b_{n-1} & & a_{n-1} & \\ b_{n} & & & & a_{n}\end{array}\right]$ 的行列式等于 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：观察矩阵结构
矩阵 $A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵，其中主对角线元素为 $a_1, a_2, \dots, a_n$，反对角线元素为 $b_1, b_2, \dots, b_n$，其余元素均为0。由于 $n$ 为奇数，反对角线将矩阵分为对称的两部分。
提示：注意矩阵中 $b_i$ 的位置：$b_1$ 在 $(1,n)$，$b_2$ 在 $(2,n-1)$，依此类推，$b_n$ 在 $(n,1)$。
步骤 2/7
目标：通过列交换化为分块对角矩阵
将第 $i$ 列与第 $n+1-i$ 列交换，其中 $i=1,2,\dots, \frac{n-1}{2}$。每次交换改变行列式的符号，共进行 $\frac{n-1}{2}$ 次交换，因此符号因子为 $(-1)^{\frac{n-1}{2}}$。交换后，矩阵变为分块对角矩阵，每个 $2\times 2$ 块对应一对 $(i, n+1-i)$，中间剩下一个 $1\times 1$ 块对应 $i=\frac{n+1}{2}$。
公式：列交换一次行列式变号：$\det(A) = (-1)^k \det(A')$，其中 $k$ 为交换次数。
提示：交换列时注意顺序：先交换第1列与第n列，再交换第2列与第n-1列，以此类推。
步骤 3/7
目标：写出交换后的矩阵形式
交换后，矩阵变为分块对角矩阵 $\operatorname{diag}(B_1, B_2, \dots, B_{\frac{n-1}{2}}, a_{\frac{n+1}{2}})$，其中每个 $B_i = \begin{pmatrix} a_i & b_i \\ b_{n+1-i} & a_{n+1-i} \end{pmatrix}$，$i=1,\dots,\frac{n-1}{2}$。注意：$b_i$ 和 $b_{n+1-i}$ 的位置在交换后分别位于 $(i,i)$ 和 $(i,i+1)$ 等，但经过列交换后，原反对角线元素被重新排列。
提示：确保每个 $2\times 2$ 块中元素的位置正确：左上角为 $a_i$，右上角为 $b_i$，左下角为 $b_{n+1-i}$，右下角为 $a_{n+1-i}$。
步骤 4/7
目标：计算每个 $2\times 2$ 块的行列式
对于每个 $i=1,\dots,\frac{n-1}{2}$，块 $B_i$ 的行列式为 $\det(B_i) = a_i a_{n+1-i} - b_i b_{n+1-i}$。
公式：$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$
提示：注意符号：是 $a_i a_{n+1-i} - b_i b_{n+1-i}$，不是 $a_i a_{n+1-i} - b_i b_{n+1-i}$ 的相反数。
步骤 5/7
目标：利用分块对角矩阵的行列式性质
分块对角矩阵的行列式等于各块行列式的乘积。因此，交换后矩阵的行列式为 $\prod_{i=1}^{\frac{n-1}{2}} (a_i a_{n+1-i} - b_i b_{n+1-i}) \cdot a_{\frac{n+1}{2}}$。
公式：$\det(\operatorname{diag}(B_1,\dots,B_k)) = \prod_{i=1}^k \det(B_i)$
提示：注意中间 $1\times 1$ 块的行列式就是其元素本身。
步骤 6/7
目标：乘以列交换的符号因子
由于进行了 $\frac{n-1}{2}$ 次列交换，原矩阵的行列式等于 $(-1)^{\frac{n-1}{2}}$ 乘以交换后矩阵的行列式。因此，最终结果为 $(-1)^{\frac{n-1}{2}} \prod_{i=1}^{\frac{n-1}{2}} (a_i a_{n+1-i} - b_i b_{n+1-i}) \cdot a_{\frac{n+1}{2}}$。
公式：$\det(A) = (-1)^{\frac{n-1}{2}} \det(A')$
提示：符号因子容易遗漏或算错，注意 $n$ 为奇数时 $(n-1)/2$ 是整数。
步骤 7/7
目标：整理最终表达式
将结果写成紧凑形式：$\det(A) = (-1)^{\frac{n-1}{2}} \prod_{i=1}^{\frac{n-1}{2}} (a_i a_{n+1-i} - b_i b_{n+1-i}) \cdot a_{\frac{n+1}{2}}$。
提示：检查 $n=1$ 的特殊情况：此时乘积为空，行列式为 $a_1$，公式给出 $(-1)^0 \cdot 1 \cdot a_1 = a_1$，正确。
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