河北师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
一、（本题 10 分）将 $\displaystyle 1+x+x^{2}+\cdots+x^{15}$ 展开成不可约有理多项式的乘积． fl ：多项式
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将多项式表示为分式形式
注意到 $1+x+x^2+\cdots+x^{15}$ 是等比数列求和，公比为 $x$，项数为 $16$。利用等比数列求和公式，当 $x \neq 1$ 时，有 $f(x) = \frac{x^{16}-1}{x-1}$。
公式：$\sum_{k=0}^{n-1} x^k = \frac{x^n-1}{x-1}$
提示：注意 $x=1$ 时公式不适用，但多项式本身在 $x=1$ 处有定义，值为 $16$，而分式形式在 $x=1$ 处为可去奇点。
步骤 2/5
目标：将分子分解为分圆多项式的乘积
在有理数域上，$x^{16}-1$ 可以分解为所有 $16$ 次单位根对应的分圆多项式的乘积：$x^{16}-1 = \prod_{d\mid 16} \Phi_d(x) = \Phi_1(x)\Phi_2(x)\Phi_4(x)\Phi_8(x)\Phi_{16}(x)$。其中 $\Phi_1(x)=x-1$，$\Phi_2(x)=x+1$，$\Phi_4(x)=x^2+1$，$\Phi_8(x)=x^4+1$，$\Phi_{16}(x)=x^8+1$。
公式：$x^n-1 = \prod_{d\mid n} \Phi_d(x)$
提示：分圆多项式 $\Phi_d(x)$ 的次数为欧拉函数 $\varphi(d)$，且系数为整数，在有理数域上不可约。
步骤 3/5
目标：约去公因子 $x-1$
由于 $f(x) = \frac{x^{16}-1}{x-1}$，而 $x^{16}-1$ 包含因子 $\Phi_1(x)=x-1$，因此约去后得到 $f(x) = \Phi_2(x)\Phi_4(x)\Phi_8(x)\Phi_{16}(x)$。
提示：注意 $\Phi_1(x)$ 与分母完全抵消，不要遗漏其他因子。
步骤 4/5
目标：写出具体因式分解形式
代入各分圆多项式的表达式，得到 $f(x) = (x+1)(x^2+1)(x^4+1)(x^8+1)$。
提示：检查每个因子的次数：$x+1$ 一次，$x^2+1$ 二次，$x^4+1$ 四次，$x^8+1$ 八次，总次数为 $1+2+4+8=15$，与多项式次数一致。
步骤 5/5
目标：验证不可约性
分圆多项式在有理数域上不可约，因此 $x+1$（$\Phi_2$）、$x^2+1$（$\Phi_4$）、$x^4+1$（$\Phi_8$）、$x^8+1$（$\Phi_{16}$）均为有理数域上的不可约多项式。
提示：注意 $x^4+1$ 在实数域上可分解为 $(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)$，但在有理数域上不可约。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。