📝 河北师范大学 2024年高等代数真题

一、（本题 10 分）将 $\displaystyle 1+x+x^{2}+\cdots+x^{15}$ 展开成不可约有理多项式的乘积． fl ：多项式

七、（本题满分20分）已知 $\displaystyle \sigma$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，求证
（1）$\displaystyle \sigma$ 的特征值只有 0 和 1 ；
（2）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，其中其中 $\displaystyle V_{1}=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, ~ V_{2}=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}$ 。fl：线性空间与线性变换

三、（本题15分）证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^{\mathrm{T}} & 1\end{array}\right|=|A|\left(1-\alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha\right)$ ，其中 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle \alpha$ 为 $n$ 维列向量。fl：行列式

九、（本题15分）设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维欧氏空间上的正交变换，$W$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的一个不变子空间，证明：$W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$ 也是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间。

二、（本题 15 分）设 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，$\displaystyle r(A)=r<n, \eta_{0}$ 为非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个特解，且 $\displaystyle \eta_{1}, \cdots, \eta_{n-r}$为齐次线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 的一个基础解系．证明：$\displaystyle \eta_{0}, \eta_{0}+\eta_{1}, \eta_{0}+\eta_{2}, \cdots . \eta_{0}+\eta_{n-r}$ 是方程组 $\displaystyle A x=b$ 的 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解．ff：线性方程组

五、（本题20分）设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，求证：
（1）$A$ 的特征值全大于 0 ；
（2）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} A P=E, P^{\mathrm{T}} B P$ 为对角矩阵。 fl ：矩阵

八、（本题 20 分）设实对称矩阵 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}a & 0 & b \\ 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2\end{array}\right)$ ，且 $A$ 的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ．
（1）求的 $\displaystyle a, b$ 值；
（2）证明：存在正交矩阵 $T$ ，使二次型 $\displaystyle f(x)=x^{\mathrm{T}} A x$ 化为标准形，并写出正交矩阵 $T$ 。

六、（本题满分 20 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}4 & & & \\ 1 & 4 & & \\ & 1 & 4 & \\ & & 1 & 4\end{array}\right), W=\left\{B \mid A B=B A, B \in P^{4 \times 4}\right\}$ ，求证：
（1）$W$ 为 $\displaystyle P^{4 \times 4}$ 的子空间；
（2）求 $W$ 的维数与一组基．fl：线性空间与线性变换

四、（本题15分）设 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，$H$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，$\displaystyle r(H)=n$ ，求证：$\displaystyle r(A H)=r(A)$ ．