河北师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
六、（本题满分 20 分）已知 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}4 & & & \\ 1 & 4 & & \\ & 1 & 4 & \\ & & 1 & 4\end{array}\right), W=\left\{B \mid A B=B A, B \in P^{4 \times 4}\right\}$ ，求证：
（1）$W$ 为 $\displaystyle P^{4 \times 4}$ 的子空间；
（2）求 $W$ 的维数与一组基．fl：线性空间与线性变换
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明W是子空间
验证零矩阵属于W：零矩阵O满足AO=O=OA，故O∈W。验证加法封闭：若B1,B2∈W，则A(B1+B2)=AB1+AB2=B1A+B2A=(B1+B2)A，故B1+B2∈W。验证数乘封闭：若B∈W，k∈P，则A(kB)=k(AB)=k(BA)=(kB)A，故kB∈W。因此W是P^{4×4}的子空间。
提示：注意子空间的三条性质：零元、加法封闭、数乘封闭，缺一不可。
步骤 2/6
目标：将A分解为数量矩阵与幂零矩阵之和
A是若尔当块：A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} = 4I + N，其中N = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}，且N^4=0。
公式：A = 4I + N
提示：注意N是幂零矩阵，其幂次有规律。
步骤 3/6
目标：将交换条件转化为与N交换
由于A与4I可交换，AB=BA等价于(4I+N)B=B(4I+N)，即4B+NB=4B+BN，化简得NB=BN。因此W={B | NB=BN}。
公式：AB=BA ⇔ NB=BN
提示：注意数量矩阵与任何矩阵可交换。
步骤 4/6
目标：利用NB=BN求解B的结构
设B=(b_{ij})_{4×4}，计算NB和BN：NB = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} \end{pmatrix}，BN = \begin{pmatrix} b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} \\ b_{41} & b_{42} & b_{43} & b_{44} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}。由NB=BN得方程组：第1行：0=b_{21},0=b_{22},0=b_{23},0=b_{24}；第2行：b_{11}=b_{31},b_{12}=b_{32},b_{13}=b_{33},b_{14}=b_{34}；第3行：b_{21}=b_{41},b_{22}=b_{42},b_{23}=b_{43},b_{24}=b_{44}；第4行：b_{31}=0,b_{32}=0,b_{33}=0,b_{34}=0。解得b_{1j}=0,b_{2j}=0,b_{4j}=0,b_{3j}=0，即B=0。但此结果与A自身可交换矛盾，说明直接求解有误，需换方法。
提示：直接解方程容易出错，应利用若尔当块的中心化子理论。
步骤 5/6
目标：利用若尔当块的中心化子理论
A是4阶若尔当块，特征值全为4，最小多项式为(x-4)^4。与A可交换的矩阵必为A的多项式，即W={p(A) | p(x)∈P[x]}。由于最小多项式次数为4，I, A, A^2, A^3线性无关，且任何多项式可表示为它们的线性组合。
公式：W = { p(A) | p(x) ∈ P[x] }
提示：注意若尔当块的中心化子是由其多项式构成的。
步骤 6/6
目标：确定维数和基
由于I, A, A^2, A^3线性无关，且任意p(A)可表示为它们的线性组合，故W的维数为4，一组基为{I, A, A^2, A^3}。也可用幂零矩阵表示：基为{I, N, N^2, N^3}，因为A=4I+N，所以两者等价。
公式：dim W = 4, 基: {I, A, A^2, A^3}
提示：注意基的选取不唯一，但维数唯一。
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