河北师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
五、（本题20分）设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶正定矩阵，求证：
（1）$A$ 的特征值全大于 0 ；
（2）存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{\mathrm{T}} A P=E, P^{\mathrm{T}} B P$ 为对角矩阵。 fl ：矩阵
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用正定矩阵定义证明特征值大于0
设 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，$\mathbf{v}$ 是对应的特征向量，即 $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$，且 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$。由于 $A$ 正定，有 $\mathbf{v}^{\mathrm{T}} A \mathbf{v} > 0$。代入得 $\mathbf{v}^{\mathrm{T}} A \mathbf{v} = \mathbf{v}^{\mathrm{T}} (\lambda \mathbf{v}) = \lambda \|\mathbf{v}\|^2 > 0$，而 $\|\mathbf{v}\|^2 > 0$，故 $\lambda > 0$。
公式：$\mathbf{v}^{\mathrm{T}} A \mathbf{v} = \lambda \|\mathbf{v}\|^2$
提示：注意特征向量非零，且正定性要求二次型大于0。
步骤 2/5
目标：存在可逆矩阵C使A合同于单位阵
由于 $A$ 正定，存在可逆矩阵 $C$ 使得 $C^{\mathrm{T}} A C = E$。这是正定矩阵的合同标准形性质。
公式：$C^{\mathrm{T}} A C = E$
提示：C的取法不唯一，但存在性由正定性保证。
步骤 3/5
目标：构造对称矩阵D并正交对角化
令 $D = C^{\mathrm{T}} B C$。由于 $B$ 对称，$D$ 也是对称矩阵。实对称矩阵可正交对角化：存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^{\mathrm{T}} D Q = \Lambda$ 为对角矩阵。
公式：$Q^{\mathrm{T}} D Q = \Lambda$
提示：正交矩阵满足 $Q^{\mathrm{T}} = Q^{-1}$，但此处只需 $Q$ 可逆即可。
步骤 4/5
目标：定义P并验证合同变换
令 $P = C Q$，则 $P$ 可逆。计算 $P^{\mathrm{T}} A P = (C Q)^{\mathrm{T}} A (C Q) = Q^{\mathrm{T}} (C^{\mathrm{T}} A C) Q = Q^{\mathrm{T}} E Q = E$。再计算 $P^{\mathrm{T}} B P = (C Q)^{\mathrm{T}} B (C Q) = Q^{\mathrm{T}} (C^{\mathrm{T}} B C) Q = Q^{\mathrm{T}} D Q = \Lambda$。
公式：$P^{\mathrm{T}} A P = E$, $P^{\mathrm{T}} B P = \Lambda$
提示：注意矩阵乘法顺序，$P^{\mathrm{T}} = Q^{\mathrm{T}} C^{\mathrm{T}}$。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{\mathrm{T}} A P = E$ 且 $P^{\mathrm{T}} B P$ 为对角矩阵。同时，第一问已证 $A$ 的特征值全大于0。
提示：注意第二问的结论是同时对角化，但仅将A化为单位阵，B化为对角阵。
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