河北师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
二、（本题 15 分）设 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，$\displaystyle r(A)=r<n, \eta_{0}$ 为非齐次线性方程组 $\displaystyle A x=b$ 的一个特解，且 $\displaystyle \eta_{1}, \cdots, \eta_{n-r}$为齐次线性方程组 $\displaystyle A x=0$ 的一个基础解系．证明：$\displaystyle \eta_{0}, \eta_{0}+\eta_{1}, \eta_{0}+\eta_{2}, \cdots . \eta_{0}+\eta_{n-r}$ 是方程组 $\displaystyle A x=b$ 的 $\displaystyle n-r+1$ 个线性无关的解．ff：线性方程组
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设定线性相关假设
假设向量组 $\eta_0, \eta_0+\eta_1, \ldots, \eta_0+\eta_{n-r}$ 线性相关，则存在不全为零的系数 $k_0, k_1, \ldots, k_{n-r}$ 使得 $k_0\eta_0 + \sum_{i=1}^{n-r} k_i(\eta_0+\eta_i) = 0$。
提示：注意系数不全为零是线性相关的定义，不要遗漏
步骤 2/8
目标：整理线性组合
将上式整理为 $\left(k_0 + \sum_{i=1}^{n-r} k_i\right)\eta_0 + \sum_{i=1}^{n-r} k_i\eta_i = 0$。
提示：合并 $\eta_0$ 的系数时，注意 $\eta_0$ 出现在每一项中
步骤 3/8
目标：左乘矩阵A利用解的性质
对等式两边左乘矩阵 $A$，利用 $A\eta_0 = b$ 和 $A\eta_i = 0$，得到 $\left(k_0 + \sum_{i=1}^{n-r} k_i\right)b = 0$。
公式：A\eta_0 = b, \quad A\eta_i = 0
提示：注意 $b$ 是非零向量，因为 $\eta_0$ 是非齐次特解且 $r(A)=r
步骤 4/8
目标：推导系数关系
由于 $b \neq 0$，所以 $k_0 + \sum_{i=1}^{n-r} k_i = 0$。
提示：不要忘记 $b$ 非零的条件，否则无法推出系数和为零
步骤 5/8
目标：代入消去η0
将 $k_0 + \sum_{i=1}^{n-r} k_i = 0$ 代入整理后的等式，得到 $\sum_{i=1}^{n-r} k_i\eta_i = 0$。
提示：代入后只剩下 $\eta_i$ 的线性组合
步骤 6/8
目标：利用基础解系的线性无关性
由于 $\eta_1, \ldots, \eta_{n-r}$ 是基础解系，线性无关，所以 $k_1 = k_2 = \cdots = k_{n-r} = 0$。
提示：基础解系线性无关是已知条件
步骤 7/8
目标：推出所有系数为零
由 $k_1 = \cdots = k_{n-r} = 0$ 和 $k_0 + \sum_{i=1}^{n-r} k_i = 0$ 得 $k_0 = 0$。因此所有系数全为零，与假设矛盾，故向量组线性无关。
提示：反证法最后要明确得出矛盾
步骤 8/8
目标：验证解的性质
因为 $A\eta_0 = b$，且 $A(\eta_0+\eta_i) = A\eta_0 + A\eta_i = b + 0 = b$，所以 $\eta_0$ 和 $\eta_0+\eta_i$ 都是 $Ax=b$ 的解。因此它们是 $n-r+1$ 个线性无关的解。
提示：注意验证每个向量都是非齐次方程的解
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