河北师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
四、（本题15分）设 $A$ 为 $\displaystyle s \times n$ 矩阵，$H$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，$\displaystyle r(H)=n$ ，求证：$\displaystyle r(A H)=r(A)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用行满秩分解
由于 $r(H)=n$ 且 $H$ 是 $n \times m$ 矩阵，存在 $n \times n$ 可逆矩阵 $P$ 和 $m \times m$ 可逆矩阵 $Q$，使得 $H = P [I_n \ 0] Q$，其中 $[I_n \ 0]$ 是 $n \times m$ 矩阵，前 $n$ 列为单位阵，后 $m-n$ 列为零。
公式：$H = P [I_n \ 0] Q$
提示：注意 $H$ 是行满秩，因此存在这样的分解，$P$ 和 $Q$ 可逆。
步骤 2/4
目标：代入 $AH$ 并利用 $Q$ 可逆
计算 $AH = A P [I_n \ 0] Q$。由于 $Q$ 可逆，矩阵乘以可逆矩阵不改变秩，因此 $r(AH) = r(A P [I_n \ 0])$。
公式：$r(AH) = r(A P [I_n \ 0])$
提示：可逆矩阵乘在右边不改变秩，但注意顺序。
步骤 3/4
目标：令 $B = A P$ 并化简
令 $B = A P$，则 $B$ 是 $s \times n$ 矩阵。那么 $B [I_n \ 0]$ 是 $s \times m$ 矩阵，其前 $n$ 列为 $B$，后 $m-n$ 列为零。因此 $r(B [I_n \ 0]) = r(B)$，因为列秩等于非零列的秩。
公式：$r(B [I_n \ 0]) = r(B)$
提示：注意 $[I_n \ 0]$ 是列满秩矩阵，乘以它不改变秩。
步骤 4/4
目标：利用 $P$ 可逆得到最终结果
由于 $P$ 可逆，$r(B) = r(A P) = r(A)$。因此 $r(AH) = r(A)$。
公式：$r(A P) = r(A)$
提示：可逆矩阵乘在右边不改变秩。
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