河北师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
九、（本题15分）设 $\displaystyle \varphi$ 是 $n$ 维欧氏空间上的正交变换，$W$ 是 $\displaystyle \varphi$ 的一个不变子空间，证明：$W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$ 也是 $\displaystyle \varphi$ 的不变子空间。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和待证结论
设 $\varphi$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 上的正交变换，$W$ 是 $\varphi$ 的不变子空间，即 $\varphi(W) \subseteq W$。要证明 $W^\perp$ 也是 $\varphi$ 的不变子空间，即 $\varphi(W^\perp) \subseteq W^\perp$。
提示：注意不变子空间的定义：$\varphi(W) \subseteq W$，而不是 $\varphi(W)=W$。
步骤 2/6
目标：任取正交补中的向量
任取 $\alpha \in W^\perp$，需要证明 $\varphi(\alpha) \in W^\perp$。根据正交补的定义，即证明对任意 $\beta \in W$，有 $(\varphi(\alpha), \beta) = 0$。
公式：$W^\perp = \{ \alpha \in V \mid (\alpha, \beta)=0, \forall \beta \in W \}$
提示：注意正交补的定义：与 $W$ 中所有向量正交的向量集合。
步骤 3/6
目标：利用正交变换保持内积的性质
由于 $\varphi$ 是正交变换，保持内积，即对任意 $x,y \in V$，有 $(\varphi(x), \varphi(y)) = (x, y)$。特别地，取 $x = \alpha$，$y = \varphi^{-1}(\beta)$，则 $(\varphi(\alpha), \beta) = (\varphi(\alpha), \varphi(\varphi^{-1}(\beta))) = (\alpha, \varphi^{-1}(\beta))$。
公式：$(\varphi(x), \varphi(y)) = (x, y)$
提示：注意 $\varphi$ 是正交变换，因此可逆，且 $\varphi^{-1}$ 也是正交变换。
步骤 4/6
目标：证明 $\varphi^{-1}(\beta) \in W$
因为 $W$ 是 $\varphi$ 的不变子空间，即 $\varphi(W) \subseteq W$。由于 $\varphi$ 是正交变换，限制在 $W$ 上可逆（因为正交变换限制在不变子空间上仍是正交变换，从而可逆），所以 $\varphi(W) = W$。因此对任意 $\beta \in W$，存在 $\gamma \in W$ 使得 $\varphi(\gamma) = \beta$，即 $\gamma = \varphi^{-1}(\beta) \in W$。
公式：$\varphi(W) = W$
提示：注意：虽然已知 $\varphi(W) \subseteq W$，但由正交变换的可逆性可推出 $\varphi(W)=W$。
步骤 5/6
目标：利用 $\alpha \in W^\perp$ 得到内积为零
由于 $\alpha \in W^\perp$，且 $\varphi^{-1}(\beta) \in W$，所以 $(\alpha, \varphi^{-1}(\beta)) = 0$。
公式：$(\alpha, w)=0$ 对任意 $w \in W$
提示：注意 $\varphi^{-1}(\beta)$ 确实属于 $W$。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此 $(\varphi(\alpha), \beta) = (\alpha, \varphi^{-1}(\beta)) = 0$。由 $\beta$ 的任意性，$\varphi(\alpha) \in W^\perp$。从而 $\varphi(W^\perp) \subseteq W^\perp$，即 $W^\perp$ 是 $\varphi$ 的不变子空间。
提示：注意：证明过程中用到了 $\varphi$ 的可逆性，这是正交变换的性质。
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