河北师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
三、（本题15分）证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^{\mathrm{T}} & 1\end{array}\right|=|A|\left(1-\alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha\right)$ ，其中 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$\displaystyle \alpha$ 为 $n$ 维列向量。fl：行列式
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造分块矩阵并设定符号
设 $M = \begin{pmatrix} A & \alpha \\ \alpha^{\mathrm{T}} & 1 \end{pmatrix}$，其中 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，$\alpha$ 是 $n$ 维列向量。目标是证明 $\det(M) = \det(A) (1 - \alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha)$。
提示：注意分块矩阵的维度：左上角是 $n \times n$，右上角是 $n \times 1$，左下角是 $1 \times n$，右下角是 $1 \times 1$。
步骤 2/5
目标：利用分块消元法进行行变换
由于 $A$ 可逆，考虑左乘一个分块初等矩阵 $\begin{pmatrix} I & 0 \\ -\alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} & 1 \end{pmatrix}$ 到 $M$ 上，其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。计算乘积：
\[
\begin{pmatrix} I & 0 \\ -\alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} A & \alpha \\ \alpha^{\mathrm{T}} & 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A & \alpha \\ 0 & 1 - \alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha \end{pmatrix}.
\]
公式：分块矩阵乘法：$\begin{pmatrix} I & 0 \\ C & I \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & B \\ D & E \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B \\ CA+D & CB+E \end{pmatrix}$
提示：注意左下角块的计算：$-\alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} A + \alpha^{\mathrm{T}} = -\alpha^{\mathrm{T}} + \alpha^{\mathrm{T}} = 0$；右下角块：$-\alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha + 1$。
步骤 3/5
目标：取行列式并利用乘积性质
对等式两边取行列式。左边第一个矩阵的行列式为 $\det\begin{pmatrix} I & 0 \\ -\alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 = 1$，因为它是下三角矩阵且对角线元素全为1。因此，
\[
\det(M) = \det\begin{pmatrix} A & \alpha \\ 0 & 1 - \alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha \end{pmatrix}.
\]
公式：行列式乘法性质：$\det(AB) = \det(A)\det(B)$
提示：左乘的矩阵行列式为1，所以不改变原矩阵的行列式值。
步骤 4/5
目标：计算上三角分块矩阵的行列式
矩阵 $\begin{pmatrix} A & \alpha \\ 0 & 1 - \alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha \end{pmatrix}$ 是分块上三角矩阵，其行列式等于对角块行列式的乘积：
\[
\det\begin{pmatrix} A & \alpha \\ 0 & 1 - \alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha \end{pmatrix} = \det(A) \cdot (1 - \alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha).
\]
公式：分块上三角矩阵的行列式：$\det\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix} = \det(A)\det(D)$
提示：这里 $D$ 是 $1 \times 1$ 矩阵，其行列式就是它本身。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，$\det(M) = \det(A) (1 - \alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha)$，即
\[
\left|\begin{array}{cc}A & \alpha \\ \alpha^{\mathrm{T}} & 1\end{array}\right| = |A|\left(1-\alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha\right).
\]
提示：注意 $\alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha$ 是一个标量，所以 $1 - \alpha^{\mathrm{T}} A^{-1} \alpha$ 也是标量。
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