河北师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
七、（本题满分20分）已知 $\displaystyle \sigma$ 为线性空间 $V$ 上的线性变换，$\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，求证
（1）$\displaystyle \sigma$ 的特征值只有 0 和 1 ；
（2）$\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，其中其中 $\displaystyle V_{1}=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=\alpha\}, ~ V_{2}=\{\alpha \in V \mid \sigma(\alpha)=0\}$ 。fl：线性空间与线性变换
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设特征值和特征向量
设 $\lambda$ 是 $\sigma$ 的特征值，$\alpha$ 是对应的特征向量，则 $\sigma(\alpha) = \lambda \alpha$，且 $\alpha \neq 0$。
公式：$\sigma(\alpha) = \lambda \alpha$
提示：特征向量非零是重要条件。
步骤 2/6
目标：利用条件 $\sigma^2 = \sigma$ 推导特征值方程
由 $\sigma^2 = \sigma$ 得 $\sigma^2(\alpha) = \sigma(\alpha)$。左边 $\sigma^2(\alpha) = \sigma(\sigma(\alpha)) = \sigma(\lambda \alpha) = \lambda \sigma(\alpha) = \lambda^2 \alpha$，右边 $\sigma(\alpha) = \lambda \alpha$。因此 $\lambda^2 \alpha = \lambda \alpha$，即 $(\lambda^2 - \lambda)\alpha = 0$。
公式：$\lambda^2 \alpha = \lambda \alpha$
提示：注意 $\sigma$ 是线性变换，$\sigma(\lambda \alpha) = \lambda \sigma(\alpha)$。
步骤 3/6
目标：求解特征值
由于 $\alpha \neq 0$，所以 $\lambda^2 - \lambda = 0$，解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 1$。因此 $\sigma$ 的特征值只有 0 和 1。
公式：$\lambda^2 - \lambda = 0$
提示：不要忘记 $\alpha \neq 0$ 的条件。
步骤 4/6
目标：证明 $V = V_1 + V_2$
对任意 $\alpha \in V$，令 $\beta = \sigma(\alpha)$，$\gamma = \alpha - \sigma(\alpha)$。则 $\sigma(\beta) = \sigma^2(\alpha) = \sigma(\alpha) = \beta$，故 $\beta \in V_1$；$\sigma(\gamma) = \sigma(\alpha) - \sigma^2(\alpha) = 0$，故 $\gamma \in V_2$。且 $\alpha = \beta + \gamma$，所以 $V = V_1 + V_2$。
公式：$\alpha = \sigma(\alpha) + (\alpha - \sigma(\alpha))$
提示：构造 $\beta$ 和 $\gamma$ 是关键步骤。
步骤 5/6
目标：证明 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$
若 $\alpha \in V_1 \cap V_2$，则 $\sigma(\alpha) = \alpha$ 且 $\sigma(\alpha) = 0$，所以 $\alpha = 0$。因此 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
提示：注意 $V_1$ 和 $V_2$ 的定义。
步骤 6/6
目标：得出直和结论
由 $V = V_1 + V_2$ 且 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$，根据直和的定义，$V = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和需要满足和与交为零两个条件。
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