河南大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
一、 $\displaystyle f(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+1$ ，若 $\displaystyle x=1$ 是 $\displaystyle f(x)=0$ 的三重根，求 $\displaystyle a, b, c$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设定多项式形式
由于 $x=1$ 是 $f(x)=0$ 的三重根，可设 $f(x)=a(x-1)^3(x-k)$，其中 $k$ 为另一个根。
提示：注意三重根意味着因式 $(x-1)^3$，不要遗漏另一个根 $k$。
步骤 2/8
目标：展开多项式
先展开 $(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$，再乘以 $(x-k)$ 得：
$$f(x)=a(x^3-3x^2+3x-1)(x-k)=a\left[x^4-(k+3)x^3+(3k+3)x^2-(3k+1)x+k\right]$$
提示：展开时注意各项系数，特别是 $x$ 项和常数项。
步骤 3/8
目标：比较常数项
原多项式 $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+1$ 的常数项为 $1$，展开式中常数项为 $a \cdot k$，因此 $a k = 1$，即 $k = \frac{1}{a}$。
提示：常数项对应 $x^0$ 的系数，不要忽略系数 $a$。
步骤 4/8
目标：比较 $x$ 项系数
原多项式中 $x$ 项系数为 $0$（因为 $f(x)$ 没有 $x$ 项），展开式中 $x$ 项系数为 $-a(3k+1)$，所以 $-a(3k+1)=0$，即 $3k+1=0$，解得 $k = -\frac{1}{3}$。
提示：原多项式 $x$ 项系数为 $0$，不要遗漏负号。
步骤 5/8
目标：求解 $a$
将 $k = -\frac{1}{3}$ 代入 $a k = 1$ 得 $a \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = 1$，所以 $a = -3$。
提示：注意 $a$ 为负数，计算时小心符号。
步骤 6/8
目标：求解 $b$
比较 $x^3$ 系数：原多项式 $x^3$ 系数为 $b$，展开式中 $x^3$ 系数为 $-a(k+3)$，代入 $a=-3$，$k=-\frac{1}{3}$ 得：
$$b = -(-3)\left(-\frac{1}{3}+3\right) = 3 \cdot \frac{8}{3} = 8$$
提示：注意负号的处理，先代入再计算。
步骤 7/8
目标：求解 $c$
比较 $x^2$ 系数：原多项式 $x^2$ 系数为 $c$，展开式中 $x^2$ 系数为 $a(3k+3)$，代入 $a=-3$，$k=-\frac{1}{3}$ 得：
$$c = -3\left(3\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)+3\right) = -3(-1+3) = -3 \cdot 2 = -6$$
提示：注意 $3k+3$ 的计算，先算括号内再乘 $a$。
步骤 8/8
目标：总结结果
因此，$a = -3$，$b = 8$，$c = -6$。
提示：最终答案应写清楚三个值。
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