📝 河南大学 2024年高等代数真题

一、 $\displaystyle f(x)=a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+1$ ，若 $\displaystyle x=1$ 是 $\displaystyle f(x)=0$ 的三重根，求 $\displaystyle a, b, c$ ．

七、求复矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4\end{array}\right)$ 的不变因子，初等因子与 Jordan 标准形．

三、已知二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=3 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+3 a x_{2} x_{3}, a>0$ ，通过正交变换将 $f$ 化为标准形 $\displaystyle y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}+5 y_{3}^{2}$ ，求 $a$ 及所用的正交变换．

九、设 $A$ 为 $n$ 维欧氏空间上的线性变换，$W$ 为 $A$ 的一个不变子空间，证明：$W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$也是 $A$ 的不变子空间．

二、设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right|=|A+B||A-B|$ ．

五、已知非齐次方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-1 \\ 4 x_{1}+3 x_{2}+5 x_{3}-x_{4}=-1 \text { 有三个线性无关的解，求 } p, q \text { 的值以及非 } \\ p x_{1}+x_{2}+3 x_{3}+q x_{4}=p\end{array}\right.$齐次方程组的通解。

八、设 $\displaystyle P^{n \times n}$ 为数域 $P$ 上全体 $n$ 阶方阵组成的线性空间，$\displaystyle A, B$ 为两个 $n$ 阶方阵，定义 $\displaystyle P^{n \times n}$ 上的变换 $\displaystyle \varphi(X)=A X B, X \in P^{n \times n}$ ，求证：
（1）$A$ 为 $\displaystyle P^{n \times n}$ 上的线性变换；
（2）$\displaystyle \varphi$ 是可逆变换当且仅当 $\displaystyle A, B$ 都是可逆矩阵．

六、设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle W_{1}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid A x=0\right\}, W_{2}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid(A-E) x=0\right\}$ ，证明：$\displaystyle A^{2}=A$当且仅当 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ，其中 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 为 $n$ 维实向量空间．

四、设 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=A+B$ ，证明：
（1）$\displaystyle A-E_{n}$ 可逆；
（2）$\displaystyle A B=B A$ ．