河南大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
二、设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，证明：$\displaystyle \left|\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right|=|A+B||A-B|$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造分块矩阵乘法
考虑分块矩阵的乘法，构造如下等式：
\[
\begin{pmatrix}
I & I \\
0 & I
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A & B \\
B & A
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I & -I \\
0 & I
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A+B & 0 \\
B & A-B
\end{pmatrix}.
\]
其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
公式：分块矩阵乘法公式
提示：注意分块矩阵的乘法规则，左乘和右乘的矩阵要匹配。
步骤 2/5
目标：验证矩阵乘法结果
计算左边乘积：先计算左乘矩阵与中间矩阵的乘积，再右乘。
左乘：
\[
\begin{pmatrix}
I & I \\
0 & I
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A & B \\
B & A
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A+B & B+A \\
B & A
\end{pmatrix}.
\]
再右乘：
\[
\begin{pmatrix}
A+B & B+A \\
B & A
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I & -I \\
0 & I
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A+B & 0 \\
B & A-B
\end{pmatrix}.
\]
注意 $B+A = A+B$，且 $(A+B)(-I)+(B+A)I = 0$。
提示：计算时注意矩阵加法的交换律，以及分块矩阵的乘法顺序。
步骤 3/5
目标：取行列式并利用乘积性质
对等式两边取行列式，左边是三个矩阵乘积的行列式，右边是分块矩阵的行列式。
\[
\left| \begin{pmatrix}
I & I \\
0 & I
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A & B \\
B & A
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I & -I \\
0 & I
\end{pmatrix} \right|
= \left| \begin{pmatrix}
A+B & 0 \\
B & A-B
\end{pmatrix} \right|.
\]
由行列式乘积性质：$|PQR| = |P| \cdot |Q| \cdot |R|$。
公式：|PQR| = |P| |Q| |R|
提示：注意行列式乘法性质要求矩阵同阶，这里分块矩阵的阶数为 $2n$。
步骤 4/5
目标：计算左右两侧矩阵的行列式
左边第一个矩阵 $\begin{pmatrix} I & I \\ 0 & I \end{pmatrix}$ 是上三角分块矩阵，其行列式为 $|I| \cdot |I| = 1$。同样，第三个矩阵 $\begin{pmatrix} I & -I \\ 0 & I \end{pmatrix}$ 的行列式也是 $1$。
右边矩阵 $\begin{pmatrix} A+B & 0 \\ B & A-B \end{pmatrix}$ 是下三角分块矩阵，其行列式为 $|A+B| \cdot |A-B|$。
公式：三角分块矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积
提示：注意分块三角矩阵的行列式公式：若 $M = \begin{pmatrix} X & Y \\ 0 & Z \end{pmatrix}$，则 $|M| = |X| \cdot |Z|$。这里右边矩阵是下三角，同样适用。
步骤 5/5
目标：推导原等式
由步骤3和4，左边行列式等于 $1 \cdot \left| \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix} \right| \cdot 1 = \left| \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix} \right|$，右边行列式等于 $|A+B| \cdot |A-B|$。因此
\[
\left| \begin{pmatrix} A & B \\ B & A \end{pmatrix} \right| = |A+B| \cdot |A-B|.
\]
即原等式成立。
提示：确保所有矩阵都是方阵且阶数相同，否则行列式无定义。
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