河南大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
四、设 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, B$ 满足 $\displaystyle A B=A+B$ ，证明：
（1）$\displaystyle A-E_{n}$ 可逆；
（2）$\displaystyle A B=B A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：变形已知等式
已知 $AB = A + B$，移项得 $AB - A - B = 0$。
提示：注意移项时符号变化，不要遗漏零矩阵。
步骤 2/6
目标：添加单位矩阵凑因式分解
在等式 $AB - A - B = 0$ 两边同时加上 $E_n$，得 $AB - A - B + E_n = E_n$。
提示：添加 $E_n$ 是为了后续因式分解，注意矩阵乘法中 $E_n$ 是单位矩阵。
步骤 3/6
目标：因式分解
将左边因式分解：$AB - A - B + E_n = (A - E_n)(B - E_n)$。验证：$(A - E_n)(B - E_n) = AB - A - B + E_n$。
公式：$(A - E_n)(B - E_n) = AB - A - B + E_n$
提示：因式分解时注意矩阵乘法顺序，$(A - E_n)(B - E_n)$ 展开后各项顺序不可交换。
步骤 4/6
目标：得出可逆性结论
由 $(A - E_n)(B - E_n) = E_n$ 可知 $A - E_n$ 可逆，且其逆矩阵为 $B - E_n$。
公式：$(A - E_n)(B - E_n) = E_n$
提示：矩阵可逆的定义是存在矩阵 $C$ 使得 $AC = CA = E$，这里只得到乘积为 $E$，但由 $AB = A + B$ 可对称推出 $(B - E_n)(A - E_n) = E_n$，因此 $A - E_n$ 可逆。
步骤 5/6
目标：利用互逆性证明交换性
由（1）知 $A - E_n$ 与 $B - E_n$ 互逆，所以 $(A - E_n)(B - E_n) = (B - E_n)(A - E_n)$。
公式：$(A - E_n)(B - E_n) = (B - E_n)(A - E_n)$
提示：互逆矩阵必然可交换，这是逆矩阵的性质。
步骤 6/6
目标：展开等式并化简
展开 $(A - E_n)(B - E_n) = (B - E_n)(A - E_n)$ 得：$AB - A - B + E_n = BA - B - A + E_n$。两边消去相同项 $-A - B + E_n$，得到 $AB = BA$。
提示：展开时注意矩阵乘法不满足交换律，但这里展开后左右两边项数相同，可以消去。
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