河南大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
八、设 $\displaystyle P^{n \times n}$ 为数域 $P$ 上全体 $n$ 阶方阵组成的线性空间，$\displaystyle A, B$ 为两个 $n$ 阶方阵，定义 $\displaystyle P^{n \times n}$ 上的变换 $\displaystyle \varphi(X)=A X B, X \in P^{n \times n}$ ，求证：
（1）$A$ 为 $\displaystyle P^{n \times n}$ 上的线性变换；
（2）$\displaystyle \varphi$ 是可逆变换当且仅当 $\displaystyle A, B$ 都是可逆矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：验证线性性
对于任意 $X, Y \in P^{n \times n}$ 和 $k \in P$，计算 $\varphi(X+Y) = A(X+Y)B = AXB + AYB = \varphi(X) + \varphi(Y)$，以及 $\varphi(kX) = A(kX)B = k(AXB) = k\varphi(X)$。因此 $\varphi$ 满足加法和数乘封闭性，是线性变换。
公式：\varphi(X+Y)=\varphi(X)+\varphi(Y), \varphi(kX)=k\varphi(X)
提示：注意矩阵乘法对加法的分配律：$A(X+Y)B = AXB + AYB$，以及数乘的结合律：$A(kX)B = k(AXB)$。
步骤 2/4
目标：必要性：假设可逆，推导A和B可逆
假设 $\varphi$ 可逆，则存在线性变换 $\psi$ 使得 $\psi \circ \varphi = \varphi \circ \psi = I$。特别地，$\varphi$ 是双射。取 $X = I$，则 $\varphi(I) = AIB = AB$。由于 $\varphi$ 是满射，存在 $X_0$ 使得 $\varphi(X_0) = I$，即 $AX_0B = I$。因此 $A$ 有右逆 $X_0B$，$B$ 有左逆 $AX_0$，故 $A$ 和 $B$ 均可逆。
公式：AX_0B = I \Rightarrow A(X_0B)=I, (AX_0)B=I
提示：注意：由 $AX_0B=I$ 可得 $A$ 有右逆 $X_0B$，$B$ 有左逆 $AX_0$，但需注意矩阵乘法不交换，因此不能直接说 $A$ 可逆，需结合方阵性质：若方阵有单侧逆，则它可逆。
步骤 3/4
目标：充分性：假设A和B可逆，构造逆变换
若 $A$ 和 $B$ 可逆，定义 $\psi(X) = A^{-1} X B^{-1}$。则 $\psi$ 是线性变换（类似第1步验证）。计算复合：$\psi(\varphi(X)) = A^{-1}(AXB)B^{-1} = X$，$\varphi(\psi(X)) = A(A^{-1}XB^{-1})B = X$。因此 $\psi$ 是 $\varphi$ 的逆变换，故 $\varphi$ 可逆。
公式：\psi(X)=A^{-1}XB^{-1}
提示：注意逆变换的定义：需验证 $\psi \circ \varphi = \varphi \circ \psi = I$，且 $\psi$ 是线性变换。
步骤 4/4
目标：总结结论
由必要性（若 $\varphi$ 可逆则 $A,B$ 可逆）和充分性（若 $A,B$ 可逆则 $\varphi$ 可逆），得 $\varphi$ 可逆当且仅当 $A$ 和 $B$ 都是可逆矩阵。
提示：注意：这里 $A,B$ 均为 $n$ 阶方阵，可逆性等价于满秩或行列式非零。
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