河南大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
七、求复矩阵 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4\end{array}\right)$ 的不变因子，初等因子与 Jordan 标准形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算特征多项式
设矩阵 $A = \begin{pmatrix} -1 & -2 & 6 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & -1 & 4 \end{pmatrix}$，计算 $\det(\lambda I - A)$：
$$\det(\lambda I - A) = \det \begin{pmatrix} \lambda+1 & 2 & -6 \\ 1 & \lambda & -3 \\ 1 & 1 & \lambda-4 \end{pmatrix}$$
按第一行展开：
$$(\lambda+1)[\lambda(\lambda-4)+3] - 2[(\lambda-4)-(-3)] + (-6)[1-\lambda]$$
化简：
$$(\lambda+1)(\lambda^2-4\lambda+3) - 2(\lambda-1) + 6(\lambda-1)$$
$$= (\lambda+1)(\lambda-1)(\lambda-3) + 4(\lambda-1)$$
$$= (\lambda-1)[(\lambda+1)(\lambda-3)+4] = (\lambda-1)(\lambda^2-2\lambda+1) = (\lambda-1)^3$$
公式：$\det(\lambda I - A)$ 展开公式
提示：注意行列式计算时符号不要出错，尤其是第二项系数为-2，第三项系数为-6。
步骤 2/5
目标：求最小多项式
计算 $A-I$：
$$A-I = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 6 \\ -1 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$
观察矩阵，第二行和第三行成比例，第一行除以-2得 $(1,1,-3)$，与第二行乘以-1相同，故秩为1。
计算 $(A-I)^2$：
$$(A-I)^2 = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 6 \\ -1 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}^2 = 0$$
因此最小多项式为 $(\lambda-1)^2$。
公式：最小多项式是使得 $f(A)=0$ 的次数最低的首一多项式
提示：注意检查 $(A-I)^2$ 是否为零矩阵，若为零则最小多项式次数为2。
步骤 3/5
目标：确定不变因子
特征多项式为 $(\lambda-1)^3$，最小多项式为 $(\lambda-1)^2$。
不变因子满足 $d_1(\lambda)d_2(\lambda)d_3(\lambda) = (\lambda-1)^3$，且 $d_3(\lambda)$ 是最小多项式，$d_2(\lambda)$ 整除 $d_3(\lambda)$。
因此 $d_3(\lambda) = (\lambda-1)^2$，$d_2(\lambda) = \lambda-1$，$d_1(\lambda)=1$。
公式：不变因子乘积等于特征多项式，最后一个不变因子等于最小多项式
提示：注意不变因子是首一多项式，且后一个整除前一个。
步骤 4/5
目标：求初等因子
将每个不变因子分解为一次因式的幂：
$d_1(\lambda)=1$ 无因子，$d_2(\lambda)=\lambda-1$，$d_3(\lambda)=(\lambda-1)^2$。
因此初等因子为 $\lambda-1$ 和 $(\lambda-1)^2$。
公式：初等因子是不变因子分解为不可约因式幂的全体
提示：注意初等因子要列出所有幂次，不要遗漏。
步骤 5/5
目标：构造Jordan标准形
初等因子 $\lambda-1$ 对应一个1阶Jordan块 $J_1(1)$，初等因子 $(\lambda-1)^2$ 对应一个2阶Jordan块 $J_2(1)$。
因此Jordan标准形为：
$$J = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
公式：Jordan块 $J_k(\lambda)$ 是对角线为 $\lambda$，次对角线为1的 $k$ 阶矩阵
提示：注意Jordan块的顺序可以调换，但通常按阶数从小到大排列。
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