河南大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
三、已知二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=3 x_{1}^{2}+3 x_{2}^{2}+3 x_{3}^{2}+3 a x_{2} x_{3}, a>0$ ，通过正交变换将 $f$ 化为标准形 $\displaystyle y_{1}^{2}+3 y_{2}^{2}+5 y_{3}^{2}$ ，求 $a$ 及所用的正交变换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=3x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+3ax_2x_3$ 的矩阵 $A$ 满足 $f=x^TAx$，其中 $A$ 为对称矩阵。由于交叉项 $x_2x_3$ 的系数为 $3a$，故 $A_{23}=A_{32}=\frac{3a}{2}$，对角元为 $3$。因此 $A=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & \frac{3a}{2} \\ 0 & \frac{3a}{2} & 3 \end{pmatrix}$。
公式：二次型矩阵：$f=x^TAx$，$A$ 对称，$A_{ij}=A_{ji}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。
提示：注意交叉项系数要除以2填入矩阵的对称位置。
步骤 2/7
目标：由标准形确定特征值
通过正交变换将 $f$ 化为标准形 $y_1^2+3y_2^2+5y_3^2$，正交变换下特征值不变，因此矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=1,\lambda_2=3,\lambda_3=5$。
公式：正交变换保持特征值不变。
提示：标准形系数即为特征值，注意顺序不影响结果。
步骤 3/7
目标：计算特征多项式并求参数 a
计算 $|\lambda I-A|=0$：
$|\lambda I-A|=\begin{vmatrix} \lambda-3 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda-3 & -\frac{3a}{2} \\ 0 & -\frac{3a}{2} & \lambda-3 \end{vmatrix}= (\lambda-3)\left[(\lambda-3)^2-\left(\frac{3a}{2}\right)^2\right]=(\lambda-3)(\lambda-3-\frac{3a}{2})(\lambda-3+\frac{3a}{2})$。
特征值为 $\lambda_1=3,\lambda_2=3+\frac{3a}{2},\lambda_3=3-\frac{3a}{2}$。
与已知特征值 $1,3,5$ 比较：$\lambda_1=3$ 对应 $3$；令 $3+\frac{3a}{2}=5$ 得 $a=\frac{4}{3}$；此时 $3-\frac{3a}{2}=1$ 一致。故 $a=\frac{4}{3}$。
公式：特征多项式 $|\lambda I-A|=0$，特征值满足方程。
提示：注意行列式展开时不要漏掉因子，比较特征值时需一一对应。
步骤 4/7
目标：求特征值 1 对应的特征向量
当 $\lambda=1$ 时，解 $(A-I)x=0$。
$A-I=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}$，行简化得 $x_1=0$，$x_2+x_3=0$。取 $x_2=1,x_3=-1$，得特征向量 $\alpha_1=(0,1,-1)^T$。单位化：$\|\alpha_1\|=\sqrt{2}$，故 $\eta_1=(0,\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}})^T$。
公式：解齐次线性方程组 $(\lambda I-A)x=0$。
提示：单位化时注意模长计算，特征向量不唯一，取简单整数形式。
步骤 5/7
目标：求特征值 3 对应的特征向量
当 $\lambda=3$ 时，解 $(A-3I)x=0$。
$A-3I=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$，行简化得 $x_2=0$，$x_3=0$，$x_1$ 自由。取 $x_1=1$，得 $\alpha_2=(1,0,0)^T$，单位化 $\eta_2=(1,0,0)^T$。
公式：同上。
提示：注意零行，自由变量取简单值。
步骤 6/7
目标：求特征值 5 对应的特征向量
当 $\lambda=5$ 时，解 $(A-5I)x=0$。
$A-5I=\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 2 \\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}$，行简化得 $x_1=0$，$x_2-x_3=0$。取 $x_2=1,x_3=1$，得 $\alpha_3=(0,1,1)^T$，单位化 $\eta_3=(0,\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})^T$。
公式：同上。
提示：注意与 $\lambda=1$ 的特征向量正交，可验证内积为0。
步骤 7/7
目标：构造正交变换矩阵并写出变换
将单位化后的特征向量按列排成正交矩阵 $Q$，注意顺序应与标准形中特征值顺序对应。标准形为 $y_1^2+3y_2^2+5y_3^2$，即特征值 $1,3,5$ 分别对应 $y_1,y_2,y_3$。因此取 $\eta_1$（对应 $\lambda=1$）为第一列，$\eta_2$（对应 $\lambda=3$）为第二列，$\eta_3$（对应 $\lambda=5$）为第三列，得
$Q=(\eta_1,\eta_2,\eta_3)=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$。
验证 $|Q|=1$（计算得 $0\times0\times\frac{1}{\sqrt{2}}+1\times\frac{1}{\sqrt{2}}\times(-\frac{1}{\sqrt{2}})+0\times\frac{1}{\sqrt{2}}\times0 - \cdots = -\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=-1$？实际计算行列式：按第一行展开，$|Q|=1\times\begin{vmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{vmatrix}=1\times(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=1$，故为正交变换（旋转）。
正交变换为 $x=Qy$，即
$\begin{cases} x_1 = y_2 \\ x_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}y_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}y_3 \\ x_3 = -\frac{1}{\sqrt{2}}y_1 + \frac{1}{\sqrt{2}}y_3 \end{cases}$。
公式：正交变换 $x=Qy$，$Q$ 为正交矩阵（列向量为标准正交基）。
提示：注意特征向量顺序与标准形系数顺序一致；验证行列式为+1确保是旋转（若为-1则是反射，但题目只要求正交变换）。
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