河南大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
九、设 $A$ 为 $n$ 维欧氏空间上的线性变换，$W$ 为 $A$ 的一个不变子空间，证明：$W$ 的正交补 $\displaystyle W^{\perp}$也是 $A$ 的不变子空间．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和待证结论
设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$A$ 是 $V$ 上的线性变换，$W$ 是 $A$ 的不变子空间，即 $A(W) \subseteq W$。需要证明 $W^\perp$ 也是 $A$ 的不变子空间，即 $A(W^\perp) \subseteq W^\perp$。
提示：注意区分不变子空间的定义：$A(W) \subseteq W$ 而非 $A(W)=W$。
步骤 2/6
目标：分析题目条件并补充假设
原题未说明 $A$ 的性质，但一般结论不成立。例如，在 $\mathbb{R}^2$ 中取剪切变换 $A(x,y)=(x+y,y)$，$W=\{(x,0)\}$，则 $W$ 不变但 $W^\perp$ 不变。因此需补充条件：$A$ 是正交变换（保持内积）或自伴变换（对称变换）。下面假设 $A$ 是正交变换，即 $A^*=A^{-1}$。
提示：注意：正交变换满足 $(A\alpha, A\beta)=(\alpha,\beta)$，且 $A$ 可逆。
步骤 3/6
目标：任取 $W^\perp$ 中向量并利用正交性
任取 $\alpha \in W^\perp$，则对任意 $\beta \in W$，有 $(\alpha, \beta)=0$。由于 $W$ 是 $A$ 的不变子空间，$A(\beta) \in W$，故 $(\alpha, A(\beta))=0$。
公式：$(\alpha, \beta)=0$ 对所有 $\beta \in W$
提示：注意：$A(\beta) \in W$ 是由 $W$ 不变性直接得到的。
步骤 4/6
目标：利用正交变换的性质转化内积
考虑 $(A(\alpha), \beta)$。由于 $A$ 是正交变换，有 $(A(\alpha), \beta) = (\alpha, A^{-1}(\beta))$。因为 $A$ 可逆且 $W$ 不变，实际上 $A$ 在 $W$ 上的限制是 $W$ 到自身的同构，所以 $A^{-1}(\beta) \in W$。
公式：$(A\alpha, \beta) = (\alpha, A^{-1}\beta)$
提示：正交变换满足 $A^*=A^{-1}$，即 $(A\alpha, \beta)=(\alpha, A^{-1}\beta)$。
步骤 5/6
目标：由正交性得到 $A(\alpha)$ 与 $W$ 正交
由于 $\alpha \in W^\perp$ 且 $A^{-1}(\beta) \in W$，有 $(\alpha, A^{-1}(\beta))=0$，从而 $(A(\alpha), \beta)=0$。因为 $\beta$ 是 $W$ 中任意向量，所以 $A(\alpha) \in W^\perp$。
提示：注意：$A^{-1}(\beta) \in W$ 需要 $A$ 在 $W$ 上可逆，这由 $A$ 可逆且 $W$ 有限维保证。
步骤 6/6
目标：总结结论
由 $\alpha$ 的任意性，$A(W^\perp) \subseteq W^\perp$，故 $W^\perp$ 是 $A$ 的不变子空间。若 $A$ 是自伴变换，类似可证：$(A\alpha, \beta)=(\alpha, A\beta)=0$。
提示：自伴变换情形下，无需 $A$ 可逆。
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