河南大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
六、设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$\displaystyle W_{1}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid A x=0\right\}, W_{2}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n} \mid(A-E) x=0\right\}$ ，证明：$\displaystyle A^{2}=A$当且仅当 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ，其中 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 为 $n$ 维实向量空间．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：必要性：证明若A^2=A，则R^n=W1⊕W2
设$A^2=A$。对任意$x\in\mathbb{R}^n$，有$x = Ax + (E-A)x$。计算$A(Ax)=A^2x=Ax$，故$(A-E)(Ax)=A^2x-Ax=0$，所以$Ax\in W_2$。计算$A((E-A)x)=Ax-A^2x=0$，故$(E-A)x\in W_1$。因此$\mathbb{R}^n = W_1+W_2$。
公式：x = Ax + (E-A)x
提示：注意$(E-A)x$是向量，不要与矩阵乘法混淆。
步骤 2/4
目标：必要性：证明和是直和
若$x\in W_1\cap W_2$，则$Ax=0$且$(A-E)x=0$，即$Ax=0$且$Ax=x$，故$x=0$。所以$W_1\cap W_2=\{0\}$，因此和是直和，即$\mathbb{R}^n = W_1\oplus W_2$。
提示：直和的条件是交为零空间。
步骤 3/4
目标：充分性：假设R^n=W1⊕W2，证明A^2=A
设$\mathbb{R}^n = W_1\oplus W_2$。对任意$x\in\mathbb{R}^n$，存在唯一$x_1\in W_1$，$x_2\in W_2$使得$x=x_1+x_2$。则$Ax = A(x_1+x_2)=Ax_1+Ax_2$。由于$x_1\in W_1$，$Ax_1=0$；由于$x_2\in W_2$，$(A-E)x_2=0$即$Ax_2=x_2$。故$Ax=x_2$。
公式：Ax = x_2
提示：注意$W_2$的定义是$(A-E)x=0$，即$Ax=x$。
步骤 4/4
目标：充分性：计算A^2x并得出结论
计算$A^2x = A(Ax)=A x_2 = x_2 = Ax$。由$x$的任意性得$A^2=A$。
公式：A^2x = Ax
提示：最后一步需要说明对任意x成立，从而矩阵相等。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。