河南大学 2026年高等代数第5题
📝 题目
5．设
$$
\left.\begin{array}{l}
S_{1}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T} \mid x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0\right\} \\
S_{2}=\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)^{T} \left\lvert\,\left\{\begin{array}{l}
x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=0 \\
x_{1}+x_{2}+x_{3}-x_{4}=0
\end{array}\right\}\right.\right.
\end{array}\right\}{ }{ } \left\lvert\, \begin{aligned}
& \\
&
\end{aligned}\right.
$$
求 $\displaystyle S_{1}+S_{2}$ 和 $\displaystyle S_{1} \cap S_{2}$ 的一组基和维数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定S1的维数和一组基
S1是齐次线性方程x1+x2+x3+x4=0的解空间。该方程系数矩阵为(1,1,1,1)，秩为1，故解空间维数为4-1=3。取自由变量x2,x3,x4，则x1=-x2-x3-x4。令(x2,x3,x4)分别取(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)，得一组基：α1=(-1,1,0,0)^T, α2=(-1,0,1,0)^T, α3=(-1,0,0,1)^T。
公式：dim(S1)=4-rank(A)=3
提示：注意自由变量的选取，基向量不唯一，但维数固定。
步骤 2/5
目标：确定S2的维数和一组基
S2是方程组\begin{cases} x1-x2-x3+x4=0 \\ x1+x2+x3-x4=0 \end{cases}的解空间。系数矩阵为\begin{pmatrix}1&-1&-1&1\\1&1&1&-1\end{pmatrix}，秩为2，故维数为4-2=2。解方程组：两式相加得2x1=0，即x1=0；代入第一式得-x2-x3+x4=0，即x4=x2+x3。通解为(0,x2,x3,x2+x3)^T。取(x2,x3)=(1,0)和(0,1)，得基：β1=(0,1,0,1)^T, β2=(0,0,1,1)^T。
公式：dim(S2)=4-rank(A)=2
提示：解方程组时注意化简，避免计算错误。
步骤 3/5
目标：求S1 ∩ S2的维数和一组基
S1∩S2中的向量同时满足S1和S2的条件。由S2得x1=0, x4=x2+x3；代入S1的方程x1+x2+x3+x4=0得0+x2+x3+(x2+x3)=0，即2(x2+x3)=0，故x2+x3=0，从而x4=0。所以向量形式为(0, t, -t, 0)^T，其中t为自由参数。维数为1，一组基为γ=(0,1,-1,0)^T。
公式：dim(S1∩S2)=1
提示：注意代入后方程化简，不要遗漏条件。
步骤 4/5
目标：求S1+S2的维数和一组基
由维数公式：dim(S1+S2)=dimS1+dimS2-dim(S1∩S2)=3+2-1=4。由于S1+S2是R^4的子空间且维数为4，故S1+S2=R^4。一组基可取标准基e1=(1,0,0,0)^T, e2=(0,1,0,0)^T, e3=(0,0,1,0)^T, e4=(0,0,0,1)^T。
公式：dim(S1+S2)=dimS1+dimS2-dim(S1∩S2)
提示：维数公式是核心，注意验证维数不超过4。
步骤 5/5
目标：总结答案
S1+S2的维数为4，一组基为{(1,0,0,0)^T,(0,1,0,0)^T,(0,0,1,0)^T,(0,0,0,1)^T}；S1∩S2的维数为1，一组基为{(0,1,-1,0)^T}。
提示：基的表示形式要正确，注意向量是列向量。
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