河南大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $V$ 为数域 $\displaystyle \mathbb{P}$ 上的全体 $\displaystyle 2 \times 2$ 矩阵组成的线性空间，$\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的变换，且
$$
\varphi(x)=\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
-1 & 1
\end{array}\right) x, x \in V
$$
完成下列问题：
（1）证明 $\displaystyle \varphi$ 为 $V$ 上的线性变换；
（2）求 $\displaystyle \varphi$ 在 $\displaystyle E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ 下的矩阵；
（3）求 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi$ 的一组基和维数；
（4）求 $\displaystyle \operatorname{ker} \varphi$ 的一组基和维数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明φ是线性变换
设 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$。对任意 $x, y \in V$ 和 $k \in \mathbb{P}$，有 $\varphi(x+y) = A(x+y) = Ax + Ay = \varphi(x) + \varphi(y)$，$\varphi(kx) = A(kx) = k(Ax) = k\varphi(x)$。因此 $\varphi$ 是线性变换。
公式：φ(x) = Ax
提示：注意验证加法和数乘封闭性，线性变换的定义需同时满足两个条件。
步骤 2/4
目标：计算φ在基下的矩阵
计算每个基向量的像：
$\varphi(E_{11}) = A E_{11} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = E_{11} - E_{21}$，
$\varphi(E_{12}) = A E_{12} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = E_{12} - E_{22}$，
$\varphi(E_{21}) = A E_{21} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -E_{11} + E_{21}$，
$\varphi(E_{22}) = A E_{22} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -E_{12} + E_{22}$。
因此矩阵为 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。
公式：φ(E_{ij}) = A E_{ij}
提示：注意矩阵乘法的顺序，左乘A。将像用基线性表示时，系数按列排列。
步骤 3/4
目标：求Im φ的基和维数
设 $x = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，则 $\varphi(x) = A x = \begin{pmatrix} a-c & b-d \\ -a+c & -b+d \end{pmatrix}$。令 $u = a-c$，$v = b-d$，则 $\varphi(x) = \begin{pmatrix} u & v \\ -u & -v \end{pmatrix} = u \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + v \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$。因此 $\operatorname{Im}\varphi = \operatorname{span}\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \}$，这两个矩阵线性无关，故维数为2，一组基为 $\{E_{11}-E_{21}, E_{12}-E_{22}\}$。
公式：φ(x) = u (E_{11}-E_{21}) + v (E_{12}-E_{22})
提示：Im φ是像空间，由所有可能的像组成。注意参数u,v独立，因此维数为2。
步骤 4/4
目标：求ker φ的基和维数
解方程 $\varphi(x)=0$，即 $\begin{pmatrix} a-c & b-d \\ -a+c & -b+d \end{pmatrix} = 0$，得 $a=c$，$b=d$。因此 $x = \begin{pmatrix} a & b \\ a & b \end{pmatrix} = a \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。所以 $\ker\varphi = \operatorname{span}\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \}$，这两个矩阵线性无关，故维数为2，一组基为 $\{E_{11}+E_{21}, E_{12}+E_{22}\}$。
公式：Ax=0 ⇒ a=c, b=d
提示：ker φ是零空间，解齐次线性方程组。注意自由参数个数即为维数。
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