河南大学 2026年高等代数第7题
📝 题目
7．设 $\displaystyle \varphi$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，证明 $\displaystyle V=\operatorname{Im} \varphi \oplus \operatorname{ker} \phi$ 的充分必要条件是 $\displaystyle \operatorname{Im} \varphi=\operatorname{Im} \varphi^{2}$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：必要性：假设直和分解成立，证明像空间相等
假设 $V = \operatorname{Im} \varphi \oplus \ker \varphi$。对任意 $y \in \operatorname{Im} \varphi$，存在 $x \in V$ 使得 $y = \varphi(x)$。由于 $V = \operatorname{Im} \varphi \oplus \ker \varphi$，可设 $x = u + v$，其中 $u \in \operatorname{Im} \varphi$，$v \in \ker \varphi$。则 $y = \varphi(u+v) = \varphi(u) + \varphi(v) = \varphi(u)$。因为 $u \in \operatorname{Im} \varphi$，存在 $w \in V$ 使得 $u = \varphi(w)$，所以 $y = \varphi(\varphi(w)) = \varphi^2(w) \in \operatorname{Im} \varphi^2$。因此 $\operatorname{Im} \varphi \subseteq \operatorname{Im} \varphi^2$。显然 $\operatorname{Im} \varphi^2 \subseteq \operatorname{Im} \varphi$，故 $\operatorname{Im} \varphi = \operatorname{Im} \varphi^2$。
公式：$y = \varphi(x) = \varphi(u+v) = \varphi(u) = \varphi^2(w)$
提示：注意直和分解中任意向量可唯一表示为像和核中元素之和，且核中元素作用后为零。
步骤 2/5
目标：充分性：假设像空间相等，证明直和分解
假设 $\operatorname{Im} \varphi = \operatorname{Im} \varphi^2$。首先证明 $\operatorname{Im} \varphi \cap \ker \varphi = \{0\}$。取 $y \in \operatorname{Im} \varphi \cap \ker \varphi$，则存在 $x \in V$ 使得 $y = \varphi(x)$，且 $\varphi(y)=0$。于是 $\varphi^2(x) = \varphi(y)=0$，即 $x \in \ker \varphi^2$。
公式：$\varphi^2(x) = \varphi(\varphi(x)) = \varphi(y) = 0$
提示：注意 $\ker \varphi^2$ 包含 $\ker \varphi$，但未必相等，需要利用维数条件。
步骤 3/5
目标：利用维数关系证明核空间相等
由 $\operatorname{Im} \varphi = \operatorname{Im} \varphi^2$ 知 $\dim \operatorname{Im} \varphi = \dim \operatorname{Im} \varphi^2$。根据维数公式 $\dim V = \dim \operatorname{Im} \varphi + \dim \ker \varphi = \dim \operatorname{Im} \varphi^2 + \dim \ker \varphi^2$，可得 $\dim \ker \varphi = \dim \ker \varphi^2$。又 $\ker \varphi \subseteq \ker \varphi^2$，故 $\ker \varphi = \ker \varphi^2$。因此 $x \in \ker \varphi$，从而 $y = \varphi(x)=0$。所以 $\operatorname{Im} \varphi \cap \ker \varphi = \{0\}$。
公式：$\dim V = \dim \operatorname{Im} \varphi + \dim \ker \varphi$
提示：注意子空间包含且维数相等则子空间相等，这是线性代数常用技巧。
步骤 4/5
目标：由维数公式和交为零得到直和
由维数公式 $\dim V = \dim \operatorname{Im} \varphi + \dim \ker \varphi$，且已证 $\operatorname{Im} \varphi \cap \ker \varphi = \{0\}$，故 $V = \operatorname{Im} \varphi \oplus \ker \varphi$。
公式：$\dim V = \dim \operatorname{Im} \varphi + \dim \ker \varphi$
提示：注意直和的条件是子空间交为零且维数之和等于全空间维数。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，$V = \operatorname{Im} \varphi \oplus \ker \varphi$ 当且仅当 $\operatorname{Im} \varphi = \operatorname{Im} \varphi^2$。
提示：注意充分性和必要性都要证明，缺一不可。
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