河南大学 2026年高等代数第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle \varphi$ 为 $n$ 维线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $\displaystyle f_{\varphi}(x)=(x+1)^{3}(x-2)^{2}(x+3)$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的特征多项式，$\displaystyle m_{\varphi}(x)=(x+1)^{2}(x-2)(x+3)$ 为 $\displaystyle \varphi$ 的极小多项式．
（1）求 $\displaystyle \varphi$ 的不变因子；
（2）求 $\displaystyle \varphi$ 的 Jordan 标准型．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定特征多项式和极小多项式
已知特征多项式 $f_\varphi(x) = (x+1)^3 (x-2)^2 (x+3)$，极小多项式 $m_\varphi(x) = (x+1)^2 (x-2)(x+3)$。特征多项式次数 $n=6$，故线性空间维数为6。极小多项式整除特征多项式，且包含所有不同的一次因子。
提示：注意极小多项式的每个因子指数不超过特征多项式中的对应指数。
步骤 2/6
目标：设不变因子并确定指数约束
设不变因子为 $d_1(x),\dots,d_6(x)$，满足 $d_i(x) \mid d_{i+1}(x)$，$\prod d_i(x)=f_\varphi(x)$，且 $d_6(x)=m_\varphi(x)$。每个 $d_i(x)$ 可分解为 $(x+1)^{a_i}(x-2)^{b_i}(x+3)^{c_i}$，其中 $a_i,b_i,c_i$ 非负整数，且 $0\le a_1\le\cdots\le a_6=2$，$0\le b_1\le\cdots\le b_6=1$，$0\le c_1\le\cdots\le c_6=1$，且 $\sum a_i=3$，$\sum b_i=2$，$\sum c_i=1$。
提示：注意指数序列必须单调不减，且最后一个等于极小多项式的指数。
步骤 3/6
目标：求解指数序列
对于 $x+1$：$a_6=2$，前5个和为1，且递增，故序列为 $0,0,0,0,1,2$。
对于 $x-2$：$b_6=1$，前5个和为1，序列为 $0,0,0,0,1,1$。
对于 $x+3$：$c_6=1$，前5个和为0，序列为 $0,0,0,0,0,1$。
提示：注意指数和为特征多项式对应因子的指数。
步骤 4/6
目标：写出不变因子
由指数序列得：
$d_1(x)=d_2(x)=d_3(x)=d_4(x)=1$，
$d_5(x)=(x+1)^1(x-2)^1(x+3)^0=(x+1)(x-2)$，
$d_6(x)=(x+1)^2(x-2)^1(x+3)^1=(x+1)^2(x-2)(x+3)$。
提示：检查乘积是否等于特征多项式。
步骤 5/6
目标：由不变因子得初等因子
初等因子由不变因子分解得到：$d_6(x)$ 给出 $(x+1)^2$、$(x-2)$、$(x+3)$；$d_5(x)$ 给出 $(x+1)$、$(x-2)$。故初等因子为：$(x+1)^2,\ (x+1),\ (x-2),\ (x-2),\ (x+3)$。
提示：每个初等因子对应一个Jordan块。
步骤 6/6
目标：写出Jordan标准型
特征值-1：初等因子 $(x+1)^2$ 对应2阶Jordan块 $J_2(-1)$，$(x+1)$ 对应1阶Jordan块 $J_1(-1)$。
特征值2：两个 $(x-2)$ 对应两个1阶Jordan块 $J_1(2)$。
特征值-3：一个 $(x+3)$ 对应1阶Jordan块 $J_1(-3)$。
故Jordan标准型为：
$$J = \begin{pmatrix}
-1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -3
\end{pmatrix}.$$
提示：Jordan块顺序可以调换，但通常按特征值排列。
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