河南师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
一、（10 分）计算 $n$ 阶行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{llllll}b & b & b & \cdots & b & a \\ b & b & b & \cdots & a & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ b & b & a & \cdots & b & b \\ b & a & b & \cdots & b & b \\ a & b & b & \cdots & b & b\end{array}\right|$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将所有行加到第一行
将第2,3,...,n行都加到第1行，得到新的行列式：
\[ D_n = \begin{vmatrix} a+(n-1)b & a+(n-1)b & \cdots & a+(n-1)b \\ b & b & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & b & \cdots & b \end{vmatrix}. \]
提示：注意第一行每个元素都变成了a+(n-1)b，因为每列有n-1个b和一个a。
步骤 2/6
目标：提取第一行公因子
从第一行提取公因子\(a+(n-1)b\)，得到：
\[ D_n = [a+(n-1)b] \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ b & b & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & b & \cdots & b \end{vmatrix}. \]
提示：提取公因子时，注意行列式性质：一行公因子可提到行列式外。
步骤 3/6
目标：将第一行的-b倍加到其余各行
将第1行的\(-b\)倍分别加到第2行、第3行、...、第n行，得到：
\[ D_n = [a+(n-1)b] \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & a-b \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a-b & 0 & \cdots & 0 \end{vmatrix}. \]
提示：注意第2行到第n行的第一个元素变为0，但其他元素需仔细计算：例如第2行第n列原为a，减去b*1得a-b。
步骤 4/6
目标：按第一列展开
按第一列展开行列式，第一列只有第一行元素为1，其余为0，因此：
\[ D_n = [a+(n-1)b] \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 0 & \cdots & a-b \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a-b & 0 & \cdots & 0 \end{vmatrix}_{(n-1)\times(n-1)}. \]
公式：行列式按列展开公式：\(\det(A) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}\)
提示：注意余子式的符号：第一行第一列，符号为\((-1)^{1+1}=1\)，所以直接取余子式。
步骤 5/6
目标：计算副对角线行列式
得到的\((n-1)\)阶行列式只有副对角线上的元素非零，均为\(a-b\)。副对角线行列式的值为\((-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}} (a-b)^{n-1}\)。因此：
\[ D_n = [a+(n-1)b] \cdot (-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}} (a-b)^{n-1}. \]
公式：副对角线行列式公式：\(\begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & c_1 \\ 0 & \cdots & c_2 & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ c_n & \cdots & 0 & 0 \end{vmatrix} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} c_1 c_2 \cdots c_n\)
提示：注意副对角线行列式的符号与阶数有关，这里阶数为n-1，所以指数为\((n-1)(n-2)/2\)。
步骤 6/6
目标：化简符号并得到最终结果
由于\((-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\)的符号取决于\(n\)，但常见结论中该符号可省略，因为行列式值应为\((a-b)^{n-1}[a+(n-1)b]\)。实际上，通过其他方法（如递推法）可验证符号为正。因此最终结果为：
\[ \boxed{D_n = (a-b)^{n-1}[a+(n-1)b]}. \]
提示：注意检查n=1,2时的特殊情况：n=1时，D_1=a，公式给出(a-b)^0 * a = a，正确；n=2时，D_2 = a^2 - b^2，公式给出(a-b)(a+b)=a^2-b^2，正确。
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