📝 河南师范大学 2024年高等代数真题
第0题
一、（10 分）计算 $n$ 阶行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{llllll}b & b & b & \cdots & b & a \\ b & b & b & \cdots & a & b \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ b & b & a & \cdots & b & b \\ b & a & b & \cdots & b & b \\ a & b & b & \cdots & b & b\end{array}\right|$ 。
第0题
七、（20 分）假设 $\displaystyle f_{1}(x)$ 与 $\displaystyle f_{2}(x)$ 为次数不超过 3 的首项系数为 1 的互异多项式，且
$$
x^{4}+x^{2}+1 \mid f_{1}\left(x^{3}\right)+x^{4} f_{2}\left(x^{3}\right)
$$
（1）证明：$\displaystyle x-1 \mid f_{1}(x)$ 且 $\displaystyle x-1 \mid f_{2}(x)$ ；
（2）求 $\displaystyle f_{1}(x)$ 与 $\displaystyle f_{2}(x)$ 的最大公因式．
$$
x^{4}+x^{2}+1 \mid f_{1}\left(x^{3}\right)+x^{4} f_{2}\left(x^{3}\right)
$$
（1）证明：$\displaystyle x-1 \mid f_{1}(x)$ 且 $\displaystyle x-1 \mid f_{2}(x)$ ；
（2）求 $\displaystyle f_{1}(x)$ 与 $\displaystyle f_{2}(x)$ 的最大公因式．
第0题
三、（20 分）设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵．
（1）如果 $\displaystyle A^{k-1} \alpha \neq 0$ ，但 $\displaystyle A^{k} \alpha=0$ ，证明：$\displaystyle \alpha, A \alpha, \cdots, A^{k-1} \alpha(k>0)$ 线性无关；
（2）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}\left(A^{n+1}\right)=\operatorname{rank}\left(A^{n}\right)$ ．
（1）如果 $\displaystyle A^{k-1} \alpha \neq 0$ ，但 $\displaystyle A^{k} \alpha=0$ ，证明：$\displaystyle \alpha, A \alpha, \cdots, A^{k-1} \alpha(k>0)$ 线性无关；
（2）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}\left(A^{n+1}\right)=\operatorname{rank}\left(A^{n}\right)$ ．
第0题
二、（20 分）讨论 $\displaystyle a, b$ 为何值时，线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0, \\ x_{2}+2 x_{3}+2 x_{4}=1, \\ -x_{2}+(a-3) x_{3}-2 x_{4}=b, \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+a x_{4}=-1,\end{array}\right.$ 有唯一解？无解？有无穷
多解？当有无穷多解时，用基础解系表示出它的通解。
多解？当有无穷多解时，用基础解系表示出它的通解。
第0题
五、（20 分）已知实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 秩为 2 ，且 $\displaystyle (0,1,0)^{\mathrm{T}}$是该二次型矩阵 $A$ 的特征向量，求正交线性替换 $\displaystyle x=Q y$ 化二次型为标准形．
第0题
六、（30 分）设 $\displaystyle V=R^{2 \times 2}$ 是实数域上所有 2 阶方阵构成的实数域上的线性空间，
$$
A=\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
\lambda & 1
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-1 & -1
\end{array}\right) \text {, 其中 } \lambda \text { 是参数. }
$$
（1）任取 $\displaystyle X \in V$ ，证明：$\displaystyle \varphi(X)=A X B$ 是 $V$ 上的一个线性变换；
（2）当 $\displaystyle \lambda \neq-1$ 时，证明：$\displaystyle \varphi$ 是一个可逆线性变换；
（3）当 $\displaystyle \lambda=-1$ 时，求线性变换的 $\displaystyle \varphi$ 值域 $\displaystyle \varphi V$ 和核 $\displaystyle \varphi^{-1}(0)$ ，并在值域中取一组基，把它扩充成 $V$的一组基．
$$
A=\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
\lambda & 1
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-1 & -1
\end{array}\right) \text {, 其中 } \lambda \text { 是参数. }
$$
（1）任取 $\displaystyle X \in V$ ，证明：$\displaystyle \varphi(X)=A X B$ 是 $V$ 上的一个线性变换；
（2）当 $\displaystyle \lambda \neq-1$ 时，证明：$\displaystyle \varphi$ 是一个可逆线性变换；
（3）当 $\displaystyle \lambda=-1$ 时，求线性变换的 $\displaystyle \varphi$ 值域 $\displaystyle \varphi V$ 和核 $\displaystyle \varphi^{-1}(0)$ ，并在值域中取一组基，把它扩充成 $V$的一组基．
第0题
四、（30 分）设 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & -2 \\ k & -1 & -k \\ 4 & 2 & -3\end{array}\right)$ ．
（1）当 $k$ 为何值时，存在可逆矩阵 $P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵？并求矩阵 $P$ 和相应的对角矩阵；
（2）当 $\displaystyle k=2$ 时，求出矩阵 $A$ 的若尔当标准形和有理标准形．
（1）当 $k$ 为何值时，存在可逆矩阵 $P$ ，使 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵？并求矩阵 $P$ 和相应的对角矩阵；
（2）当 $\displaystyle k=2$ 时，求出矩阵 $A$ 的若尔当标准形和有理标准形．