河南师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
六、（30 分）设 $\displaystyle V=R^{2 \times 2}$ 是实数域上所有 2 阶方阵构成的实数域上的线性空间，
$$
A=\left(\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
\lambda & 1
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-1 & -1
\end{array}\right) \text {, 其中 } \lambda \text { 是参数. }
$$
（1）任取 $\displaystyle X \in V$ ，证明：$\displaystyle \varphi(X)=A X B$ 是 $V$ 上的一个线性变换；
（2）当 $\displaystyle \lambda \neq-1$ 时，证明：$\displaystyle \varphi$ 是一个可逆线性变换；
（3）当 $\displaystyle \lambda=-1$ 时，求线性变换的 $\displaystyle \varphi$ 值域 $\displaystyle \varphi V$ 和核 $\displaystyle \varphi^{-1}(0)$ ，并在值域中取一组基，把它扩充成 $V$的一组基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明线性变换
对任意 $X,Y\in V$，$k\in\mathbb{R}$，有
\[
\varphi(X+Y)=A(X+Y)B=AXB+AYB=\varphi(X)+\varphi(Y),
\]
\[
\varphi(kX)=A(kX)B=k(AXB)=k\varphi(X).
\]
故 $\varphi$ 是 $V$ 上的线性变换。
提示：注意矩阵乘法对加法的分配律和数乘的结合律。
步骤 2/7
目标：证明可逆性条件
当 $\lambda\neq -1$ 时，$\det(A)=1+\lambda\neq0$，$\det(B)=-1+2=1\neq0$，故 $A,B$ 可逆。则 $\varphi$ 有逆变换 $\varphi^{-1}(X)=A^{-1}XB^{-1}$，所以 $\varphi$ 可逆。
公式：$\det(A)=1+\lambda$, $\det(B)=1$
提示：注意 $\det(B)=(-1)\cdot(-1)-2\cdot1=1-2=-1$ ？重新计算：$B=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}$，$\det(B)=1\cdot(-1)-2\cdot(-1)=-1+2=1$，正确。
步骤 3/7
目标：计算线性变换在基下的矩阵
取 $V$ 的基 $E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$，计算 $\varphi(E_{ij})$：
\[
\varphi(E_{11})=AE_{11}B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix}=E_{11}+2E_{12}-E_{21}-2E_{22}.
\]
\[
\varphi(E_{12})=AE_{12}B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}=-E_{11}-E_{12}+E_{21}+E_{22}.
\]
\[
\varphi(E_{21})=AE_{21}B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&-2\\1&2\end{pmatrix}=-E_{11}-2E_{12}+E_{21}+2E_{22}.
\]
\[
\varphi(E_{22})=AE_{22}B=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\-1&-1\end{pmatrix}=E_{11}+E_{12}-E_{21}-E_{22}.
\]
所以 $\varphi$ 在基 $E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}$ 下的矩阵为
\[
M=\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 1\\
2 & -1 & -2 & 1\\
-1 & 1 & 1 & -1\\
-2 & 1 & 2 & -1
\end{pmatrix}.
\]
公式：$\varphi(E_{ij})=A E_{ij} B$
提示：计算矩阵乘法时注意顺序，先左乘 $A$ 再右乘 $B$。
步骤 4/7
目标：求矩阵的秩并确定值域和核的维数
对 $M$ 进行初等行变换：
\[
M\rightarrow\begin{pmatrix}
1 & -1 & -1 & 1\\
0 & 1 & 0 & -1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix},
\]
故 $\mathrm{rank}(M)=2$，所以 $\dim\varphi(V)=2$，$\dim\ker\varphi=4-2=2$。
提示：行变换时注意不要出错，最终秩为2。
步骤 5/7
目标：求值域的一组基
值域 $\varphi(V)$ 的一组基可取为 $\varphi(E_{11}),\varphi(E_{12})$（线性无关），即
\[
\alpha_1=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-2\end{pmatrix},\quad \alpha_2=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&1\end{pmatrix}.
\]
提示：也可取其他线性无关的像，但需验证线性无关。
步骤 6/7
目标：将值域基扩充为全空间基
将 $\alpha_1,\alpha_2$ 扩充为 $V$ 的一组基，例如添加 $E_{11},E_{12}$。验证线性无关：矩阵
\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 0\\
2 & -1 & 0 & 1\\
-1 & 1 & 0 & 0\\
-2 & 1 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
的秩为4，所以 $\alpha_1,\alpha_2,E_{11},E_{12}$ 是 $V$ 的一组基。
提示：扩充时需确保添加的向量与原有向量线性无关。
步骤 7/7
目标：求核的基
核 $\varphi^{-1}(0)=\{X\in V\mid AXB=0\}$。由于 $B$ 可逆，$AXB=0\Leftrightarrow AX=0$。解 $AX=0$，即
\[
\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}=0,
\]
得 $x_{11}-x_{21}=0$，$x_{12}-x_{22}=0$，且 $-x_{11}+x_{21}=0$，$-x_{12}+x_{22}=0$，即 $x_{11}=x_{21}$，$x_{12}=x_{22}$。所以核中矩阵形如 $\begin{pmatrix}a&b\\a&b\end{pmatrix}$，一组基为 $\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}$，$\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}$。
公式：$AX=0$
提示：注意 $B$ 可逆，所以 $AXB=0$ 等价于 $AX=0$。
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