河南师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
三、（20 分）设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵．
（1）如果 $\displaystyle A^{k-1} \alpha \neq 0$ ，但 $\displaystyle A^{k} \alpha=0$ ，证明：$\displaystyle \alpha, A \alpha, \cdots, A^{k-1} \alpha(k>0)$ 线性无关；
（2）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}\left(A^{n+1}\right)=\operatorname{rank}\left(A^{n}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：证明向量组线性无关：反证法假设
假设存在一组不全为零的系数 $c_0, c_1, \dots, c_{k-1}$ 使得 $c_0 \alpha + c_1 A\alpha + \cdots + c_{k-1} A^{k-1}\alpha = 0$。
提示：注意系数不全为零，即至少有一个非零。
步骤 2/8
目标：找到第一个非零系数并化简
令 $t$ 为最小的下标使得 $c_t \neq 0$，则上式化为 $c_t A^t \alpha + c_{t+1} A^{t+1}\alpha + \cdots + c_{k-1} A^{k-1}\alpha = 0$。
提示：t 是第一个非零系数的下标，确保 t ≤ k-1。
步骤 3/8
目标：左乘 $A^{k-1-t}$ 消去低次项
两边左乘 $A^{k-1-t}$，得 $c_t A^{k-1} \alpha + c_{t+1} A^{k} \alpha + \cdots + c_{k-1} A^{2k-2-t}\alpha = 0$。
提示：注意矩阵乘法结合律，$A^{k-1-t} A^t = A^{k-1}$。
步骤 4/8
目标：利用条件 $A^k \alpha = 0$ 简化
由于 $A^k \alpha = 0$，故对所有 $m \geq k$ 有 $A^m \alpha = 0$。因此上式中除第一项外，其余项均为零，得到 $c_t A^{k-1} \alpha = 0$。
公式：$A^k \alpha = 0 \Rightarrow A^m \alpha = 0 \ (m \geq k)$
提示：注意 $A^{k-1-t}$ 乘以后面的项时指数会超过 k-1，从而为零。
步骤 5/8
目标：推出矛盾，完成证明
由已知 $A^{k-1}\alpha \neq 0$，得 $c_t = 0$，与 $c_t \neq 0$ 矛盾。故假设不成立，向量组线性无关。
提示：反证法关键：推出与假设矛盾的结论。
步骤 6/8
目标：证明秩相等：利用秩的降阶性质
对于任意 $n$ 阶矩阵 $A$，有 $\operatorname{rank}(A) \geq \operatorname{rank}(A^2) \geq \cdots \geq \operatorname{rank}(A^n) \geq \operatorname{rank}(A^{n+1}) \geq 0$。若存在 $m$ 使得 $\operatorname{rank}(A^m) = \operatorname{rank}(A^{m+1})$，则对所有 $l \geq m$ 有 $\operatorname{rank}(A^l) = \operatorname{rank}(A^m)$。
提示：秩的单调递减性质是基础。
步骤 7/8
目标：反证法假设秩严格递减
假设 $\operatorname{rank}(A^{n+1}) < \operatorname{rank}(A^n)$，则存在向量 $\alpha$ 使得 $A^n \alpha \neq 0$ 但 $A^{n+1} \alpha = 0$。
提示：秩下降意味着存在向量在 $A^n$ 下非零但在 $A^{n+1}$ 下为零。
步骤 8/8
目标：利用(1)的结论推出矛盾
由(1)知 $\alpha, A\alpha, \dots, A^n \alpha$ 线性无关，但这是 $n+1$ 个 $n$ 维向量，矛盾。故假设不成立，必有 $\operatorname{rank}(A^{n+1}) = \operatorname{rank}(A^n)$。
提示：n+1个n维向量必线性相关，与线性无关矛盾。
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