河南师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
五、（20 分）已知实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 b x_{1} x_{2}+2 x_{2} x_{3}$ 秩为 2 ，且 $\displaystyle (0,1,0)^{\mathrm{T}}$是该二次型矩阵 $A$ 的特征向量，求正交线性替换 $\displaystyle x=Q y$ 化二次型为标准形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出二次型矩阵并利用秩为2求参数关系
设二次型 $f = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2a x_1x_2 + 2b x_1x_3 + 2x_2x_3$，则矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ a & 1 & 1 \\ b & 1 & 1 \end{pmatrix}$。由秩为2得 $|A|=0$，计算行列式：
$$|A| = 1 \cdot (1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - a \cdot (a \cdot 1 - 1 \cdot b) + b \cdot (a \cdot 1 - 1 \cdot b) = -a(a-b) + b(a-b) = (b-a)(a-b) = -(a-b)^2 = 0$$
故 $a=b$。
公式：$|A| = 0$
提示：注意行列式计算时不要遗漏符号，且二次型中交叉项系数要除以2写入矩阵对称位置。
步骤 2/6
目标：利用特征向量条件确定参数
已知 $(0,1,0)^T$ 是 $A$ 的特征向量，设对应特征值为 $\lambda$，则 $A \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$，比较分量得：$a=0$，$1=\lambda$，$1=0$。最后等式 $1=0$ 矛盾，说明原题二次型中 $2b x_1x_2$ 可能为 $2b x_2x_3$ 或 $2b x_1x_3$ 笔误。经分析，合理修正为 $f = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + 2a x_1x_2 + 2b x_2x_3 + 2x_1x_3$，则 $A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 1 & b \\ 1 & b & 1 \end{pmatrix}$。由秩为2得 $|A|=0$，计算得 $-(a-b)^2=0$，故 $a=b$。再由特征向量条件得 $a=0$，$b=0$。
公式：$A \xi = \lambda \xi$
提示：特征向量条件给出三个方程，注意检查是否矛盾；若矛盾需重新审视二次型形式。
步骤 3/6
目标：确定矩阵并求特征值
由 $a=b=0$ 得 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$。求特征值：解 $|\lambda I - A| = 0$，
$$|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 0 & -1 \\ 0 & \lambda-1 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-1) \begin{vmatrix} \lambda-1 & -1 \\ -1 & \lambda-1 \end{vmatrix} = (\lambda-1)[(\lambda-1)^2 - 1] = (\lambda-1)(\lambda^2 - 2\lambda) = \lambda(\lambda-1)(\lambda-2)$$
故特征值为 $\lambda_1 = 0$，$\lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = 2$。
公式：$|\lambda I - A| = 0$
提示：计算特征多项式时，利用行列式展开技巧简化计算。
步骤 4/6
目标：求特征向量
对于 $\lambda_1 = 0$，解 $(A-0I)x=0$：$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$，得 $x_1 + x_3 = 0$，$x_2 = 0$，取 $\xi_1 = (1,0,-1)^T$。
对于 $\lambda_2 = 1$，解 $(A-I)x=0$：$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$，得 $x_1 = 0$，$x_3 = 0$，$x_2$ 自由，取 $\xi_2 = (0,1,0)^T$。
对于 $\lambda_3 = 2$，解 $(A-2I)x=0$：$\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = 0$，得 $-x_1 + x_3 = 0$，$-x_2 = 0$，取 $\xi_3 = (1,0,1)^T$。
公式：$(A - \lambda I)x = 0$
提示：解齐次线性方程组时，注意自由变量的选取，特征向量不唯一。
步骤 5/6
目标：正交化与单位化
检查特征向量正交性：$\xi_1 \cdot \xi_2 = 0$，$\xi_1 \cdot \xi_3 = 0$，$\xi_2 \cdot \xi_3 = 0$，已正交。单位化：
$$\eta_1 = \frac{\xi_1}{\|\xi_1\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)^T$$
$$\eta_2 = \frac{\xi_2}{\|\xi_2\|} = (0,1,0)^T$$
$$\eta_3 = \frac{\xi_3}{\|\xi_3\|} = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)^T$$
公式：$\eta_i = \frac{\xi_i}{\|\xi_i\|}$
提示：不同特征值的特征向量自动正交，无需施密特正交化；单位化时注意模长计算。
步骤 6/6
目标：构造正交矩阵并写出标准形
构造正交矩阵 $Q = (\eta_1, \eta_2, \eta_3) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$。则正交线性替换 $x = Qy$ 化二次型为标准形：
$$f = 0 \cdot y_1^2 + 1 \cdot y_2^2 + 2 \cdot y_3^2 = y_2^2 + 2y_3^2$$
公式：$x = Qy$，$f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2$
提示：正交矩阵的列向量顺序对应特征值顺序，标准形系数为特征值。
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