河南师范大学 2024年高等代数第0题

将线性方程组写成矩阵形式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，其中系数矩阵 $A$ 和常数项向量 $\mathbf{b}$ 分别为： $$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & a-3 & -2 \\ 3 & 2 & 1 & a \end{pmatrix},\quad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}0\\1\\b\\-1\end{pmatrix}.$$ 增广矩阵为 $(A\mid\mathbf{b})$。

对增广矩阵进行初等行变换： $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & a-3 & -2 & b \\ 3 & 2 & 1 & a & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_4-3R_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & a-3 & -2 & b \\ 0 & -1 & -2 & a-3 & -1 \end{pmatrix}$$ $$\xrightarrow{R_3+R_2,\,R_4+R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & a-1 & 0 & b+1 \\ 0 & 0 & 0 & a-1 & 0 \end{pmatrix}.$$

当 $a\neq 1$ 时，系数矩阵的秩为 $4$，增广矩阵的秩也为 $4$，等于未知数个数，方程组有唯一解。

当 $a=1$ 时，矩阵变为： $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & b+1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ 此时系数矩阵的秩为 $2$。

若 $b+1\neq 0$，即 $b\neq -1$，则增广矩阵的秩为 $3$，大于系数矩阵的秩 $2$，方程组无解。

若 $b+1=0$，即 $b=-1$，则增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩 $2$，小于未知数个数 $4$，方程组有无穷多解。

当 $a=1,\,b=-1$ 时，方程组等价于： $$\begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=0 \\ x_2+2x_3+2x_4=1 \end{cases}.$$ 取 $x_3=c_1,\,x_4=c_2$ 为自由变量，则 $$x_2=1-2c_1-2c_2,$$ $$x_1=-x_2-x_3-x_4=-1+2c_1+2c_2-c_1-c_2=-1+c_1+c_2.$$ 通解为： $$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\0\\0\end{pmatrix}+c_1\begin{pmatrix}1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\1\end{pmatrix},\quad c_1,c_2\in\mathbb{R}.$$

综上所述： - 当 $a\neq 1$ 时，方程组有唯一解。 - 当 $a=1,\,b\neq -1$ 时，方程组无解。 - 当 $a=1,\,b=-1$ 时，方程组有无穷多解，通解为 $\mathbf{x}=(-1,1,0,0)^T+c_1(1,-2,1,0)^T+c_2(1,-2,0,1)^T$。