河南师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
一、（15 分）写出一元多项式 $\displaystyle f=x^{n}-1$ 在有理数域上的标准分解式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别多项式的根
多项式 $f(x) = x^n - 1$ 的根是 $n$ 次单位根，即 $\zeta_n^k = e^{2\pi i k / n}$，其中 $k = 0, 1, \dots, n-1$。这些根在复数域上构成一个循环群。
公式：$\zeta_n^k = e^{2\pi i k / n}$
提示：注意 $\zeta_n^0 = 1$ 是实数根，其余为复数根。
步骤 2/5
目标：引入分圆多项式概念
在有理数域上，$x^n - 1$ 的不可约因子是分圆多项式 $\Phi_d(x)$，其中 $d$ 整除 $n$。分圆多项式 $\Phi_d(x)$ 定义为所有 $d$ 次本原单位根的最小多项式，其次数为欧拉函数 $\varphi(d)$。
公式：$\Phi_d(x) = \prod_{\substack{1 \le k \le d \\ \gcd(k,d)=1}} (x - \zeta_d^k)$
提示：分圆多项式在有理数域上不可约，且系数为整数。
步骤 3/5
目标：写出标准分解式
根据代数学基本定理和分圆多项式的性质，$x^n - 1$ 在有理数域上的标准分解式为所有整除 $n$ 的正整数 $d$ 对应的分圆多项式的乘积：
$$x^n - 1 = \prod_{d \mid n} \Phi_d(x).$$
公式：$x^n - 1 = \prod_{d \mid n} \Phi_d(x)$
提示：注意 $d$ 取遍 $n$ 的所有正因子，包括 $1$ 和 $n$ 本身。
步骤 4/5
目标：举例说明分解式
例如，当 $n=6$ 时，$6$ 的正因子有 $1,2,3,6$。对应的分圆多项式为：
$\Phi_1(x) = x-1$，
$\Phi_2(x) = x+1$，
$\Phi_3(x) = x^2+x+1$，
$\Phi_6(x) = x^2-x+1$。
因此，
$$x^6-1 = (x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2-x+1).$$
提示：验证：将右边展开应等于 $x^6-1$。
步骤 5/5
目标：总结一般形式
对于一般的 $n$，$x^n-1$ 在有理数域上的标准分解式就是所有 $n$ 的因子 $d$ 对应的分圆多项式 $\Phi_d(x)$ 的乘积。每个 $\Phi_d(x)$ 的次数为 $\varphi(d)$，且不可约。
公式：$x^n - 1 = \prod_{d \mid n} \Phi_d(x)$
提示：注意分圆多项式 $\Phi_d(x)$ 的求法：可通过递推公式 $\Phi_d(x) = \frac{x^d-1}{\prod_{k\mid d, k
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