📝 河南师范大学 2025年高等代数真题
第0题
一、（15 分）写出一元多项式 $\displaystyle f=x^{n}-1$ 在有理数域上的标准分解式．
第0题
七、（20 分）求 $A$ 的特征值及其线性无关特征向量，若 $A$ 可对角化，求它的可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}7 & -12 & 6 \\ 10 & -19 & 10 \\ 12 & -24 & 13\end{array}\right)$ ．
第0题
三、（20 分）当 $\displaystyle \lambda$ 取何值时，使下列线性方程组无解或有无穷多解，当有无穷多解时，求它的通解 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2 x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\ x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+4 x_{4}=2 \\ x_{1}+7 x_{2}-4 x_{3}+11 x_{4}=\lambda\end{array}\right.$ ．
第0题
二、（15 分）求下列 $n$ 阶行列式 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{cccccc}1 & 2 & 3 & 4 & \cdots & n \\ 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots & 1 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & \cdots & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & \cdots & 3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & 1 & 2 & 3 & \cdots & n-1\end{array}\right|$ ．
第0题
五、（20 分）$\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle f(x)=X^{\top} A X$ 是对应的二次型，$\displaystyle \lambda_{1}$ ， $\displaystyle \lambda_{2}$ 分别是 $A$ 的最小和最大特征值．
（1）对任一 $n$ 维列向量 $X$ ，证明：$\displaystyle \lambda_{1} X^{\top} X \leq X^{-} A X \leq \lambda_{n} X^{\top} X$ ．
（2）证明：$\displaystyle \lambda_{1} \leq \frac{1}{n} \sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} \leq \lambda_{n}$ ．
（1）对任一 $n$ 维列向量 $X$ ，证明：$\displaystyle \lambda_{1} X^{\top} X \leq X^{-} A X \leq \lambda_{n} X^{\top} X$ ．
（2）证明：$\displaystyle \lambda_{1} \leq \frac{1}{n} \sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} \leq \lambda_{n}$ ．
第0题
八、（20 分）$\displaystyle A, B$ 为复数域上的 $n$ 阶方阵．
（1）证明：若 $\displaystyle A, B$ 无公共特征值则 $\displaystyle A X=X B$ 只有重解。 $X$ 为 $n$ 阶方阵．
（2）当 $\displaystyle A, B$ 特征值均不为零，证明：若 $\displaystyle A^{2}=B^{2}$ 则有 $\displaystyle A=B$ ．
（1）证明：若 $\displaystyle A, B$ 无公共特征值则 $\displaystyle A X=X B$ 只有重解。 $X$ 为 $n$ 阶方阵．
（2）当 $\displaystyle A, B$ 特征值均不为零，证明：若 $\displaystyle A^{2}=B^{2}$ 则有 $\displaystyle A=B$ ．
第0题
六、（20 分）$\displaystyle V=P^{4}, P$ 是一个数域，$\displaystyle V_{1}=\left\langle\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\rangle, V_{2}=\left\langle\beta_{1}, \beta_{2}\right\rangle$ 是由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 和 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$分别组成的子空间，$\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}-2 \\ 3 \\ 1 \\ -3\end{array}\right), \beta_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$ ，求和空间 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 及交空间 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的一组基和维数．
第0题
四、（20 分）$A$ 为 $n$ 阶不可逆矩阵，证明：$A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 至少有 $\displaystyle n-1$ 个特征值为 0 ，另一个非零特征值（如果存在，它满足 $\displaystyle \operatorname{tr} A^{*}=A_{11}+A_{22}+\ldots+A_{n n}$ ）．