河南师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
三、（20 分）当 $\displaystyle \lambda$ 取何值时，使下列线性方程组无解或有无穷多解，当有无穷多解时，求它的通解 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2 x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}=1 \\ x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+4 x_{4}=2 \\ x_{1}+7 x_{2}-4 x_{3}+11 x_{4}=\lambda\end{array}\right.$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出增广矩阵
将线性方程组写成增广矩阵形式：
\[
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & -1 & 4 & 2 \\
1 & 7 & -4 & 11 & \lambda
\end{pmatrix}
\]
提示：注意增广矩阵的最后一列是常数项，不要遗漏。
步骤 2/6
目标：初等行变换（交换行）
交换第1行与第2行，使第一行第一个元素为1，便于消元：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 4 & 2 \\
2 & -1 & 1 & 1 & 1 \\
1 & 7 & -4 & 11 & \lambda
\end{pmatrix}
\]
提示：交换行是初等行变换的一种，不改变方程组的解。
步骤 3/6
目标：消元得到行阶梯形
第2行减去2倍第1行，第3行减去第1行：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 4 & 2 \\
0 & -5 & 3 & -7 & -3 \\
0 & 5 & -3 & 7 & \lambda-2
\end{pmatrix}
\]
然后第3行加上第2行：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 4 & 2 \\
0 & -5 & 3 & -7 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \lambda-5
\end{pmatrix}
\]
提示：消元时注意系数符号，避免计算错误。
步骤 4/6
目标：讨论解的情况
由行阶梯形矩阵可知，系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩当$\lambda \neq 5$时为3，当$\lambda = 5$时为2。
- 当$\lambda \neq 5$时，$r(A)=2 \neq r(\bar{A})=3$，方程组无解。
- 当$\lambda = 5$时，$r(A)=r(\bar{A})=2<4$，方程组有无穷多解。
公式：线性方程组有解当且仅当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
提示：注意区分系数矩阵和增广矩阵的秩。
步骤 5/6
目标：化为行最简形
当$\lambda=5$时，增广矩阵为：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 4 & 2 \\
0 & -5 & 3 & -7 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
将第2行乘以$-\frac{1}{5}$：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 4 & 2 \\
0 & 1 & -\frac{3}{5} & \frac{7}{5} & \frac{3}{5} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
第1行减去2倍第2行：
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \frac{1}{5} & \frac{6}{5} & \frac{4}{5} \\
0 & 1 & -\frac{3}{5} & \frac{7}{5} & \frac{3}{5} \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\]
提示：化为行最简形时，注意分数运算，保持精确。
步骤 6/6
目标：写出通解
取自由变量$x_3=c_1$，$x_4=c_2$，则：
\[
\begin{cases}
x_1 = \frac{4}{5} - \frac{1}{5}c_1 - \frac{6}{5}c_2 \\
x_2 = \frac{3}{5} + \frac{3}{5}c_1 - \frac{7}{5}c_2 \\
x_3 = c_1 \\
x_4 = c_2
\end{cases}
\]
其中$c_1, c_2 \in \mathbb{R}$。
通解也可写成向量形式：
\[
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} \\ \frac{3}{5} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + c_1 \begin{pmatrix} -\frac{1}{5} \\ \frac{3}{5} \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} -\frac{6}{5} \\ -\frac{7}{5} \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
提示：自由变量的选取不唯一，但通解形式等价。注意基础解系中自由变量对应的分量应为1或0。
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