河南师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
六、（20 分）$\displaystyle V=P^{4}, P$ 是一个数域，$\displaystyle V_{1}=\left\langle\alpha_{1}, \alpha_{2}\right\rangle, V_{2}=\left\langle\beta_{1}, \beta_{2}\right\rangle$ 是由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}$ 和 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}$分别组成的子空间，$\displaystyle \alpha_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ -1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_{2}=\left(\begin{array}{l}-2 \\ 3 \\ 1 \\ -3\end{array}\right), \beta_{1}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \beta_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 1 \\ 3\end{array}\right)$ ，求和空间 $\displaystyle V_{1}+V_{2}$ 及交空间 $\displaystyle V_{1} \cap V_{2}$ 的一组基和维数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确问题与已知条件
给定 $V=P^4$，$V_1=\langle\alpha_1,\alpha_2\rangle$，$V_2=\langle\beta_1,\beta_2\rangle$，其中 $\alpha_1=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\1\end{pmatrix}$，$\alpha_2=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\\-3\end{pmatrix}$，$\beta_1=\begin{pmatrix}1\\2\\0\\-1\end{pmatrix}$，$\beta_2=\begin{pmatrix}1\\3\\1\\3\end{pmatrix}$。需要求 $V_1+V_2$ 和 $V_1\cap V_2$ 的一组基和维数。
提示：注意 $V_1+V_2$ 是由 $\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2$ 生成的子空间，$V_1\cap V_2$ 是同时属于 $V_1$ 和 $V_2$ 的向量集合。
步骤 2/7
目标：求 $V_1+V_2$ 的基与维数：构造矩阵并化简
将 $\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2$ 按列排成矩阵 $A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & 1\\-1 & 3 & 2 & 3\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & -3 & -1 & 3\end{pmatrix}$，进行初等行变换化为行最简形：
$$\begin{aligned}&\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & 1\\-1 & 3 & 2 & 3\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & -3 & -1 & 3\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2+r_1,\,r_4-r_1}\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & 1\\0 & 1 & 3 & 4\\0 & 1 & 0 & 1\\0 & -1 & -2 & 2\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{r_3-r_2,\,r_4+r_2}\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & 1\\0 & 1 & 3 & 4\\0 & 0 & -3 & -3\\0 & 0 & 1 & 6\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3\leftrightarrow r_4}\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & 1\\0 & 1 & 3 & 4\\0 & 0 & 1 & 6\\0 & 0 & -3 & -3\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{r_4+3r_3}\begin{pmatrix}1 & -2 & 1 & 1\\0 & 1 & 3 & 4\\0 & 0 & 1 & 6\\0 & 0 & 0 & 15\end{pmatrix}\end{aligned}$$
提示：行变换过程中注意保持矩阵等价，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：判断 $V_1+V_2$ 的维数并给出基
行最简形有4个非零行，故矩阵的秩为4，即向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2$ 线性无关。因此 $\dim(V_1+V_2)=4$，$V_1+V_2=P^4$。一组基可取 $\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2$ 本身，或标准基 $e_1,e_2,e_3,e_4$。
提示：注意 $V_1+V_2$ 的维数等于生成元向量组的秩，此处秩为4，故为全空间。
步骤 4/7
目标：求 $V_1\cap V_2$：建立方程组
设 $\xi\in V_1\cap V_2$，则存在 $k_1,k_2,l_1,l_2$ 使得 $\xi=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=l_1\beta_1+l_2\beta_2$，即 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2-l_1\beta_1-l_2\beta_2=0$。写出系数矩阵并解齐次线性方程组：
$$\begin{pmatrix}1 & -2 & -1 & -1\\-1 & 3 & -2 & -3\\0 & 1 & 0 & -1\\1 & -3 & 1 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\l_1\\l_2\end{pmatrix}=0$$
提示：注意符号：$\xi$ 用 $\alpha$ 和 $\beta$ 表示时，移项后 $\beta$ 的系数为负。
步骤 5/7
目标：化简方程组系数矩阵
对系数矩阵进行初等行变换：
$$\begin{aligned}&\begin{pmatrix}1 & -2 & -1 & -1\\-1 & 3 & -2 & -3\\0 & 1 & 0 & -1\\1 & -3 & 1 & -3\end{pmatrix}\xrightarrow{r_2+r_1,\,r_4-r_1}\begin{pmatrix}1 & -2 & -1 & -1\\0 & 1 & -3 & -4\\0 & 1 & 0 & -1\\0 & -1 & 2 & -2\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{r_3-r_2,\,r_4+r_2}\begin{pmatrix}1 & -2 & -1 & -1\\0 & 1 & -3 & -4\\0 & 0 & 3 & 3\\0 & 0 & -1 & -6\end{pmatrix}\xrightarrow{r_3\leftrightarrow r_4}\begin{pmatrix}1 & -2 & -1 & -1\\0 & 1 & -3 & -4\\0 & 0 & -1 & -6\\0 & 0 & 3 & 3\end{pmatrix}\\&\xrightarrow{r_4+3r_3}\begin{pmatrix}1 & -2 & -1 & -1\\0 & 1 & -3 & -4\\0 & 0 & -1 & -6\\0 & 0 & 0 & -15\end{pmatrix}\end{aligned}$$
提示：行变换步骤与求 $V_1+V_2$ 类似，但注意系数矩阵不同。
步骤 6/7
目标：解方程组并得出 $V_1\cap V_2$
系数矩阵的秩为4，未知数个数为4，故方程组只有零解：$k_1=k_2=l_1=l_2=0$，从而 $\xi=0$。因此 $V_1\cap V_2=\{0\}$，维数为0，无基（或空集）。
提示：注意零空间维数为0，通常说无基，但有时也说基为空集。
步骤 7/7
目标：总结答案
（1）$V_1+V_2=P^4$，维数4，一组基可取 $\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2$。
（2）$V_1\cap V_2=\{0\}$，维数0，无基。
提示：注意 $V_1+V_2$ 的基不唯一，只要取4个线性无关的向量即可。
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