河南师范大学 2025年高等代数第0题

将第2,3,...,n列加到第1列，得到新行列式： \[ D_n = \begin{vmatrix} 1+2+\cdots+n & 2 & 3 & \cdots & n \\ 2+3+\cdots+1 & 3 & 4 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n+1+\cdots+(n-1) & 1 & 2 & \cdots & n-1 \end{vmatrix}. \] 由于每行元素之和均为 \(1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}\)，故第一列所有元素均为 \(\frac{n(n+1)}{2}\)。

提取第一列的公因子 \(\frac{n(n+1)}{2}\)，得： \[ D_n = \frac{n(n+1)}{2} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 1 & 3 & 4 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 2 & \cdots & n-1 \end{vmatrix}. \]

将第2,3,...,n行分别减去第1行，得到： \[ D_n = \frac{n(n+1)}{2} \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 1-n \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 1-n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & -1 & -1 & \cdots & -1 \end{vmatrix}. \] 注意第2行到第n-1行，第2列到第n-1列均为1，第n列元素为 \(1-n\)；第n行第2列到第n-1列均为-1，第n列元素为-1。

将第2行到第n-1行都加到第n行，第n行变为： 第2列：\((n-2)\times 1 + (-1) = n-3\)？实际上，第2行到第n-1行共有 \(n-2\) 行，每行第2列均为1，第n行第2列原为-1，相加得 \((n-2)\times 1 + (-1) = n-3\)；类似地，第3列至第n-1列也得到 \(n-3\)；第n列：\((n-2)\times (1-n) + (-1) = (n-2)(1-n)-1\)。但注意，实际上第2行到第n-1行每行第n列是 \(1-n\)，第n行第n列是-1，相加得 \((n-2)(1-n)-1\)。然而，由于第2行到第n-1行完全相同，且第n行与它们线性相关？实际上，观察第2行到第n-1行，它们完全相同（每行从第2列到第n-1列都是1，第n列是1-n），所以这些行线性相关，行列式应为0。更简单的方法：将第2行到第n-1行都加到第n行后，第n行变为全0行（因为第2行到第n-1行每行之和与第n行抵消？）。让我们仔细计算： 第2行到第n-1行共有 \(n-2\) 行，每行第2列到第n-1列都是1，第n列是 \(1-n\)。第n行第2列到第n-1列都是-1，第n列是-1。相加后，第2列：\((n-2)\times 1 + (-1) = n-3\)，不是0，除非 \(n=3\)。但题目是n阶，一般情况。实际上，更简单的做法是：由于第2行到第n-1行完全相同，行列式已经为0，因为有两行相同。但这里第2行到第n-1行确实完全相同（每行元素相同），所以行列式直接为0。因此，我们不需要做加法，直接指出有相同行即可。但原解答用了加法，可能为了得到全0行。实际上，第2行到第n-1行完全相同，所以行列式为0。因此，这一步可以改为：注意到第2行到第n-1行完全相同，故行列式为0。

由于第2行到第n-1行完全相同（每行元素均为：第2列到第n-1列为1，第n列为1-n），因此行列式中有两行相同，行列式值为0。故 \(D_n = \frac{n(n+1)}{2} \times 0 = 0\)。