河南师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
五、（20 分）$\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，$\displaystyle f(x)=X^{\top} A X$ 是对应的二次型，$\displaystyle \lambda_{1}$ ， $\displaystyle \lambda_{2}$ 分别是 $A$ 的最小和最大特征值．
（1）对任一 $n$ 维列向量 $X$ ，证明：$\displaystyle \lambda_{1} X^{\top} X \leq X^{-} A X \leq \lambda_{n} X^{\top} X$ ．
（2）证明：$\displaystyle \lambda_{1} \leq \frac{1}{n} \sum_{i, j=1}^{n} a_{i j} \leq \lambda_{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用正交对角化将二次型化为标准形
由于 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^\top A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \dots \leq \lambda_n$ 是 $A$ 的特征值。
公式：$Q^\top A Q = \Lambda$
提示：确保 $Q$ 是正交矩阵，即 $Q^\top Q = I$。
步骤 2/6
目标：变量替换将二次型转化为特征值加权和
对任意 $n$ 维列向量 $X$，令 $Y = Q^\top X$，则 $X = QY$，且 $X^\top X = Y^\top Y$。于是 $X^\top A X = (QY)^\top A (QY) = Y^\top (Q^\top A Q) Y = Y^\top \Lambda Y = \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2$。
公式：$X^\top A X = \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2$
提示：注意 $X^\top X = Y^\top Y$ 是因为正交变换保持向量长度。
步骤 3/6
目标：利用特征值大小关系推导不等式
由于 $\lambda_1 \leq \lambda_i \leq \lambda_n$ 对所有 $i$ 成立，有 $\lambda_1 \sum_{i=1}^n y_i^2 \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2 \leq \lambda_n \sum_{i=1}^n y_i^2$。
公式：$\lambda_1 \sum y_i^2 \leq \sum \lambda_i y_i^2 \leq \lambda_n \sum y_i^2$
提示：注意 $y_i^2 \geq 0$，因此不等式方向正确。
步骤 4/6
目标：将变量替换回原向量得到最终不等式
代入 $\sum_{i=1}^n y_i^2 = Y^\top Y = X^\top X$，即得 $\lambda_1 X^\top X \leq X^\top A X \leq \lambda_n X^\top X$。
公式：$\lambda_1 X^\top X \leq X^\top A X \leq \lambda_n X^\top X$
提示：该不等式对任意 $X$ 成立，是 Rayleigh 商性质的特例。
步骤 5/6
目标：选取特殊向量证明第二部分
取 $X = (1,1,\dots,1)^\top$，则 $X^\top X = n$，且 $X^\top A X = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}$。
公式：$X^\top A X = \sum_{i,j} a_{ij}$
提示：注意 $a_{ij}$ 是矩阵 $A$ 的元素，$X^\top A X$ 展开即为所有元素之和。
步骤 6/6
目标：应用第一部分的不等式得到结论
由（1）的结论，有 $\lambda_1 n \leq \sum_{i,j=1}^n a_{ij} \leq \lambda_n n$，两边除以 $n$ 即得 $\lambda_1 \leq \frac{1}{n} \sum_{i,j=1}^n a_{ij} \leq \lambda_n$。
公式：$\lambda_1 \leq \frac{1}{n} \sum a_{ij} \leq \lambda_n$
提示：注意 $n>0$，除法不改变不等式方向。
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