河南师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
七、（20 分）求 $A$ 的特征值及其线性无关特征向量，若 $A$ 可对角化，求它的可逆矩阵 $P$ ，使得 $\displaystyle P^{-1} A P$ 为对角矩阵，$\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}7 & -12 & 6 \\ 10 & -19 & 10 \\ 12 & -24 & 13\end{array}\right)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出特征多项式
设矩阵 $A = \begin{pmatrix} 7 & -12 & 6 \\ 10 & -19 & 10 \\ 12 & -24 & 13 \end{pmatrix}$。特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = 0$，其中 $\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda - 7 & 12 & -6 \\ -10 & \lambda + 19 & -10 \\ -12 & 24 & \lambda - 13 \end{pmatrix}$。
公式：$\det(\lambda I - A) = 0$
提示：注意符号：$\lambda I - A$ 中 $A$ 的每个元素取负，但 $\lambda$ 只加在对角线上。
步骤 2/6
目标：计算行列式并因式分解
按第一行展开：
$\det(\lambda I - A) = (\lambda - 7)[(\lambda + 19)(\lambda - 13) + 240] - 12[-10(\lambda - 13) - 120] - 6[-240 + 12(\lambda + 19)]$。
化简得 $(\lambda - 7)(\lambda^2 + 6\lambda - 7) + 48\lambda - 48$，进一步整理为 $(\lambda - 1)(\lambda^2 - 1) = (\lambda - 1)^2(\lambda + 1)$。
公式：行列式展开公式
提示：计算时注意合并同类项，避免符号错误。最终因式分解结果应为 $(\lambda - 1)^2(\lambda + 1)$。
步骤 3/6
目标：得到特征值
由 $\det(\lambda I - A) = (\lambda - 1)^2(\lambda + 1) = 0$，得特征值：$\lambda_1 = 1$（二重根），$\lambda_2 = -1$。
提示：注意二重根的含义，后面需要检查是否有两个线性无关的特征向量。
步骤 4/6
目标：求 $\lambda = 1$ 的特征向量
解 $(I - A)\mathbf{x} = 0$，其中 $I - A = \begin{pmatrix} -6 & 12 & -6 \\ -10 & 20 & -10 \\ -12 & 24 & -12 \end{pmatrix}$。化为行最简形：$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。得 $x_1 - 2x_2 + x_3 = 0$。取 $x_2 = 1, x_3 = 0$ 得 $\xi_1 = (2,1,0)^T$；取 $x_2 = 0, x_3 = 1$ 得 $\xi_2 = (-1,0,1)^T$。
公式：齐次线性方程组求解
提示：基础解系中自由变量取值要线性无关，通常取单位向量。
步骤 5/6
目标：求 $\lambda = -1$ 的特征向量
解 $(-I - A)\mathbf{x} = 0$，其中 $-I - A = \begin{pmatrix} -8 & 12 & -6 \\ -10 & 18 & -10 \\ -12 & 24 & -14 \end{pmatrix}$。化为行最简形：$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{7}{6} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。得 $x_1 = x_3, x_2 = \frac{7}{6}x_3$。取 $x_3 = 6$ 得 $\xi_3 = (6,7,6)^T$。
公式：齐次线性方程组求解
提示：为避免分数，可取 $x_3 = 6$ 得到整数向量。
步骤 6/6
目标：判断可对角化并构造 $P$
由于 $\lambda = 1$ 有两个线性无关特征向量，$\lambda = -1$ 有一个，总共三个，故 $A$ 可对角化。取 $P = (\xi_1, \xi_2, \xi_3) = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 6 \\ 1 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \end{pmatrix}$，则 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。
公式：$P^{-1}AP = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_1, \lambda_2)$
提示：$P$ 的列向量顺序应与对角矩阵的特征值顺序一致。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。