河南师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
四、（20 分）$A$ 为 $n$ 阶不可逆矩阵，证明：$A$ 的伴随矩阵 $\displaystyle A^{*}$ 至少有 $\displaystyle n-1$ 个特征值为 0 ，另一个非零特征值（如果存在，它满足 $\displaystyle \operatorname{tr} A^{*}=A_{11}+A_{22}+\ldots+A_{n n}$ ）．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析矩阵A的秩
由于$A$是$n$阶不可逆矩阵，故$\det(A)=0$，从而$\operatorname{rank}(A) \leq n-1$。
提示：注意不可逆矩阵的行列式为零，秩小于$n$。
步骤 2/5
目标：利用秩的关系确定伴随矩阵的秩
对于伴随矩阵$A^*$，有公式：
$$\operatorname{rank}(A^*) = \begin{cases} n, & \text{若 } \operatorname{rank}(A)=n, \\ 1, & \text{若 } \operatorname{rank}(A)=n-1, \\ 0, & \text{若 } \operatorname{rank}(A) \leq n-2. \end{cases}$$
因为$A$不可逆，所以$\operatorname{rank}(A) \leq n-1$。
- 若$\operatorname{rank}(A) = n-1$，则$\operatorname{rank}(A^*) = 1$。
- 若$\operatorname{rank}(A) \leq n-2$，则$\operatorname{rank}(A^*) = 0$，即$A^* = 0$。
公式：$$\operatorname{rank}(A^*) = \begin{cases} n, & \text{若 } \operatorname{rank}(A)=n, \\ 1, & \text{若 } \operatorname{rank}(A)=n-1, \\ 0, & \text{若 } \operatorname{rank}(A) \leq n-2. \end{cases}$$
提示：注意秩的三种情况，不可逆时只有后两种可能。
步骤 3/5
目标：特征值分析：零特征值的个数
当$A^* = 0$时，所有特征值均为$0$，即至少有$n$个特征值为$0$，结论成立。
当$\operatorname{rank}(A^*) = 1$时，$A^*$的非零特征值个数不超过其秩，即最多有一个非零特征值。因此，$A^*$至少有$n-1$个特征值为$0$。
提示：秩为1的矩阵非零特征值个数不超过1，注意可能没有非零特征值（如幂零矩阵）。
步骤 4/5
目标：非零特征值的表达式
设$A^*$的非零特征值为$\lambda$，则$\lambda$等于$A^*$的迹（因为迹等于所有特征值之和，而其余$n-1$个特征值为$0$）。即
$$\lambda = \operatorname{tr}(A^*) = A_{11} + A_{22} + \cdots + A_{nn},$$
其中$A_{ii}$是$A$的代数余子式（即$A^*$的对角元）。
公式：$$\lambda = \operatorname{tr}(A^*) = \sum_{i=1}^n A_{ii}$$
提示：注意迹是特征值之和，当只有1个非零特征值时，该特征值等于迹。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，$A^*$至少有$n-1$个特征值为$0$，另一个非零特征值（如果存在）等于$\operatorname{tr}(A^*)$。
提示：非零特征值可能不存在（如$A^*=0$时），此时所有特征值为0。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。