河海大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，若 $n \geq 2$ 为正整数，则 $A^{n}-2 A^{n-1}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算特征多项式
计算矩阵 $A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ 的特征多项式：$\det(\lambda I - A) = \det\begin{pmatrix} \lambda-1 & 0 & -1 \\ 0 & \lambda-2 & 0 \\ -1 & 0 & \lambda-1 \end{pmatrix} = (\lambda-2)[(\lambda-1)^2 - 1] = (\lambda-2)(\lambda^2 - 2\lambda) = \lambda(\lambda-2)^2$。
公式：$\det(\lambda I - A) = \lambda(\lambda-2)^2$
提示：注意行列式展开时，利用第二行只有一个非零元简化计算。
步骤 2/6
目标：求特征值和特征向量
特征值：$\lambda_1=0$（单根），$\lambda_2=2$（二重根）。对于 $\lambda=0$，解 $(0I-A)x=0$ 得 $x_1+x_3=0$，$2x_2=0$，基础解系 $\alpha_1=(1,0,-1)^T$。对于 $\lambda=2$，解 $(2I-A)x=0$ 得 $x_1-x_3=0$，基础解系 $\alpha_2=(1,0,1)^T$，$\alpha_3=(0,1,0)^T$。
提示：注意二重特征值需要两个线性无关的特征向量，此处恰好有两个。
步骤 3/6
目标：构造可逆矩阵P并求逆
令 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$，计算 $\det(P)=-2$，伴随矩阵法得 $P^{-1}=\begin{pmatrix} 1/2 & 0 & -1/2 \\ 1/2 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：$P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} \text{adj}(P)$
提示：求逆时注意符号和系数，可验证 $P^{-1}P=I$。
步骤 4/6
目标：对角化
验证 $P^{-1}AP = \Lambda = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：$P^{-1}AP = \Lambda$
提示：对角化后，矩阵幂运算转化为对角矩阵的幂。
步骤 5/6
目标：计算A的n次幂
由 $A^n = P \Lambda^n P^{-1}$，其中 $\Lambda^n = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2^n & 0 \\ 0 & 0 & 2^n \end{pmatrix}$。计算得 $A^n = \begin{pmatrix} 2^{n-1} & 0 & 2^{n-1} \\ 0 & 2^n & 0 \\ 2^{n-1} & 0 & 2^{n-1} \end{pmatrix}$。
公式：$A^n = P \Lambda^n P^{-1}$
提示：注意 $0^n=0$（$n\geq1$），且 $2^{n-1}$ 的系数。
步骤 6/6
目标：计算表达式
代入 $A^n$ 和 $A^{n-1}$：$A^n - 2A^{n-1} = 2^{n-1}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} - 2 \cdot 2^{n-2}\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = (2^{n-1}-2^{n-1})\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \mathbf{0}$。
提示：注意 $2 \cdot 2^{n-2} = 2^{n-1}$，所以差为零矩阵。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。