📝 河海大学 2026年高等代数真题

1．设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，若 $n \geq 2$ 为正整数，则 $A^{n}-2 A^{n-1}=$ $\_\_\_\_$ ．

2．设 $A, B$ 为三阶矩阵，$|A|=3,|B|=2,\left|3 A^{-1}+2 B\right|=2$ ，则 $\left|2 A+3 B^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．

3．设三阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right)$ ，三维列向量 $\alpha=(t, 1,1)^{\mathrm{T}}$ ，已知 $A \alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．

4．设 $n$ 维向量 $\alpha=(t, 0, \cdots, 0, t)^{\mathrm{T}}, t \neq 0, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，矩阵 $\displaystyle A=E-\alpha \alpha^{\mathrm{T}}, B=E+\frac{1}{t} \alpha \alpha^{\mathrm{T}}$ ，其中 $A$ 的逆矩阵为 $B$ ，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．

5．设 $A$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 阶方阵，特征多项式为 $|\lambda E-A|=(\lambda-a)^{n-1}(\lambda-b), a, b$ 是两不等的复数．若 $A$ 的任意三个特征向量都是线性相关的，则 $A$ 的若尔当标准形为 $\_\_\_\_$ ．

6．设 $A$ 的伴随矩阵为

$$
A^{*}=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -3 & 0 & 8
\end{array}\right)
$$

且 $A B A^{-1}=B A^{-1}+3 E$ ，其中 $E$ 为 4 阶单位阵，求矩阵 $B$ ．

7．已知方程组

$$
(\mathrm{I}):\left\{\begin{array}{l}
2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=1, \\
x_{1}-x_{2}+x_{3}=2, \\
4 x_{1}+5 x_{2}-5 x_{3}=-1 .
\end{array}\right.
$$

与方程组

$$
\text { (II) : }\left\{\begin{array}{l}
a x_{1}+b x_{2}-x_{3}=0 \\
2 x_{1}-x_{2}+a x_{3}=3
\end{array}\right.
$$

同解，求 $a, b$ 的值以及方程组的通解．

8．（可能有误）设 $V$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的三维线性空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 和 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 是 $V$ 的两组基，设 $\mathscr{A}$ 是 $V$上的线性变换， $\mathscr{A}$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $A, \mathscr{A}$ 在基 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的矩阵为 $B$ ，其中

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
2 & 4 & -2 \\
-3 & -3 & 5
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & y
\end{array}\right) .
$$

求 $y$ 的值，并求由基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 到基 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 的过渡矩阵 $P$ ．

9．设 $n$ 阶实对称矩阵 $A$ 满足 $A^{3}-2 A^{2}-3 A=O$ ，且 $R(A)=r$ ，又已知 $A$ 的正惯性指数为 $k, E$ 表示单位矩阵，求 $|2 E-A|$ 的值．

10．已知

$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
-1 & 0 & a \\
0 & a & -1
\end{array}\right)
$$

且二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{\mathrm{T}}\left(A^{\mathrm{T}} A\right) X$ 的秩为 2 ．
（1）求 $a$ 的值．
（2）求正交变换将 $f$ 化为标准形．

11．已知 $A, B$ 分别为 $m$ 阶，$n$ 阶实对称矩阵，若 $D=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ C^{\mathrm{T}} & B\end{array}\right)$ 为正定矩阵，判断矩阵 $B-C^{\mathrm{T}} A^{-1} C$是否为正定矩阵，并证明你的结论．

12．设 $n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$ 满足 $A B=B+2 A$ ，且 $B$ 相似于对角矩阵，证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 都是对角矩阵．

13．设 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上两个互素的多项式，$r_{1}(x), r_{2}(x)$ 是 $\mathbb{K}[x]$ 中的任意多项式，且 $r_{1}(x), r_{2}(x)$的次数分别小于 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 的次数．证明：存在多项式 $g(x) \in \mathbb{K}[x]$ ，被 $f_{1}(x)$ 除余式为 $r_{1}(x)$ ，被 $f_{2}(x)$ 除余式为 $r_{2}(x)$ ．

14．设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $s \times t$ 矩阵，$C$ 是 $m \times t$ 矩阵．记 $R(M)$ 表示矩阵 $M$ 的秩．
（1）求证：若矩阵方程 $A X B=C$ 有解，则 $r(A)=r(A, C)$ 且 $R(B)=R\binom{B}{C}$ ．
（2）请问（1）中逆命题是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，给出反例．
（3）在什么情况下，（1）中的解是惟一的？请证明结论．

15．解答如下问题：
（1）已知复数域上的 $n$ 阶方阵

$$
B=\left(\begin{array}{ccccc}
a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \\
a_{n} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} \\
a_{n-1} & a_{n} & a_{1} & \cdots & a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{1}
\end{array}\right) .
$$

记 $\omega_{0}, \omega_{1}, \cdots, \omega_{n-1}$ 是方程 $x^{n}-1=0$ 的 $n$ 个复根．证明：对任意的 $k=0,1, \cdots, n-1$ ，向量 $\eta=\left(1, \omega_{k}, \omega_{k}^{2}, \cdots, \omega_{k}^{n-1}\right)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $B$ 的特征向量。
（2）设 $A$ 为复数域上的 4 阶幂等阵 $\left(A^{2}=A\right)$ ，证明：存在 4 个复数 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ ，使得 $A$ 相似于

$$
\left(\begin{array}{llll}
c_{1} & c_{2} & c_{3} & c_{4} \\
c_{4} & c_{1} & c_{2} & c_{3} \\
c_{3} & c_{4} & c_{1} & c_{2} \\
c_{2} & c_{3} & c_{4} & c_{1}
\end{array}\right)
$$