河海大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
6．设 $A$ 的伴随矩阵为
$$
A^{*}=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & -3 & 0 & 8
\end{array}\right)
$$
且 $A B A^{-1}=B A^{-1}+3 E$ ，其中 $E$ 为 4 阶单位阵，求矩阵 $B$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算行列式|A|
由$A^*$可得$|A^*| = 1 \times 1 \times 1 \times 8 = 8$。又$|A^*| = |A|^{n-1} = |A|^3$，故$|A|^3 = 8$，所以$|A| = 2$。
公式：$|A^*| = |A|^{n-1}$
提示：注意$n=4$，所以$|A^*| = |A|^3$，开立方时取正根，因为行列式可正可负，但这里由$A^*$形式可知$|A|>0$。
步骤 2/7
目标：用$A^*$表示$A^{-1}$和$A$
由$A^* = |A| A^{-1} = 2 A^{-1}$，得$A^{-1} = \frac{1}{2} A^*$。进而$A = 2 (A^*)^{-1}$。
公式：$A^* = |A| A^{-1}$
提示：注意$A^*$与$A^{-1}$的关系，不要混淆。
步骤 3/7
目标：化简矩阵方程求$B$
已知$A B A^{-1} = B A^{-1} + 3E$，两边右乘$A$得$A B = B + 3A$，即$A B - B = 3A$，$(A - E)B = 3A$，所以$B = 3 (A - E)^{-1} A$。
提示：右乘$A$时注意顺序，$A B A^{-1} A = A B$，$B A^{-1} A = B$。
步骤 4/7
目标：计算$(A^*)^{-1}$
$A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 0 & 8 \end{pmatrix}$，其逆矩阵为$(A^*)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{3}{8} & 0 & \frac{1}{8} \end{pmatrix}$。
提示：求逆时注意分块矩阵的逆，或直接利用初等变换。
步骤 5/7
目标：计算矩阵$A$
由$A = 2 (A^*)^{-1}$得$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & \frac{3}{4} & 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$。
提示：注意乘以2时每个元素都要乘。
步骤 6/7
目标：计算$A-E$及其逆
$A - E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{3}{4} & 0 & -\frac{3}{4} \end{pmatrix}$，求逆得$(A - E)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{4}{3} \end{pmatrix}$。
提示：求逆时注意右下角2x2子块的逆。
步骤 7/7
目标：计算矩阵$B$
$B = 3 (A - E)^{-1} A = 3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{4}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & \frac{3}{4} & 0 & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -1 \end{pmatrix}$。
提示：矩阵乘法注意顺序，先乘$(A-E)^{-1}$再乘$A$，最后乘以3。
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