河海大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
8．（可能有误）设 $V$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 上的三维线性空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 和 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 是 $V$ 的两组基，设 $\mathscr{A}$ 是 $V$上的线性变换， $\mathscr{A}$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为 $A, \mathscr{A}$ 在基 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 下的矩阵为 $B$ ，其中
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
2 & 4 & -2 \\
-3 & -3 & 5
\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & y
\end{array}\right) .
$$
求 $y$ 的值，并求由基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 到基 $\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}$ 的过渡矩阵 $P$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意与相似关系
线性变换在不同基下的矩阵是相似的，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B = P^{-1}AP$。因此 $A$ 与 $B$ 有相同的特征值。
公式：B = P^{-1}AP
提示：注意相似矩阵的特征值相同，但特征向量不同。
步骤 2/7
目标：计算矩阵A的特征值
计算特征多项式 $\det(\lambda I - A)$：
$$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 1 & -1 \\ -2 & \lambda-4 & 2 \\ 3 & 3 & \lambda-5 \end{vmatrix}$$
展开得 $(\lambda-2)^2(\lambda-6)=0$，所以特征值为 $2$（二重）和 $6$。
公式：\det(\lambda I - A) = (\lambda-2)^2(\lambda-6)
提示：计算行列式时注意符号和代数余子式，避免计算错误。
步骤 3/7
目标：确定y的值
矩阵 $B$ 是对角矩阵，特征值为 $2,2,y$。由于 $A$ 与 $B$ 特征值相同，所以 $y=6$。
提示：注意特征值的重数也要对应。
步骤 4/7
目标：求A的特征向量（特征值2）
解 $(A-2I)X=0$：
$$A-2I = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \\ -3 & -3 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
基础解系：$\xi_1 = (1,0,1)^T$，$\xi_2 = (1,-1,0)^T$。
公式：(A-2I)X=0
提示：行化简时注意系数，基础解系不唯一，但需线性无关。
步骤 5/7
目标：求A的特征向量（特征值6）
解 $(A-6I)X=0$：
$$A-6I = \begin{pmatrix} -5 & -1 & 1 \\ 2 & -2 & -2 \\ -3 & -3 & -1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{1}{3} \\ 0 & 1 & \frac{2}{3} \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
基础解系：$\xi_3 = (1,-2,3)^T$。
公式：(A-6I)X=0
提示：注意行化简后得到自由变量，取 $x_3=3$ 避免分数。
步骤 6/7
目标：构造过渡矩阵P
由于 $B$ 是对角矩阵，$P$ 的列向量应为 $A$ 的特征向量，且顺序对应 $B$ 的对角元。即第一、二列属于特征值 $2$，第三列属于特征值 $6$。取 $P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$。
公式：P = [\xi_1, \xi_2, \xi_3]
提示：特征向量的顺序必须与B的对角元顺序一致。
步骤 7/7
目标：验证P的正确性
计算 $AP$ 和 $PB$：
$$AP = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -3 & -3 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 6 \\ 0 & -2 & -12 \\ 2 & 0 & 18 \end{pmatrix}$$
$$PB = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 6 \\ 0 & -2 & -12 \\ 2 & 0 & 18 \end{pmatrix}$$
两者相等，故 $P$ 正确。
公式：AP = PB
提示：验证是避免错误的重要步骤。
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