河海大学 2026年高等代数第0题

由题，二次型 $f$ 的矩阵为 $B = A^T A$。计算 $A^T A$： $$A^T A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & a \\ 1 & 1 & a & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1-a \\ 0 & 1+a^2 & 1-a \\ 1-a & 1-a & 3+a^2 \end{pmatrix}.$$

由于 $f$ 的秩为2，故 $B$ 的行列式为0。计算行列式： $$\det(B) = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1-a \\ 0 & 1+a^2 & 1-a \\ 1-a & 1-a & 3+a^2 \end{vmatrix} = 2[(1+a^2)(3+a^2) - (1-a)^2] - (1-a)^2(1+a^2) = 0.$$ 令 $t = 1-a$，代入化简得 $t^4-6t^3+16t^2-24t+16=0$，因式分解得 $(t-2)^2(t^2-2t+4)=0$，故 $t=2$，即 $a=-1$。

当 $a=-1$ 时，$B = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 4 \end{pmatrix}$。特征多项式： $$\det(\lambda I - B) = \begin{vmatrix} \lambda-2 & 0 & -2 \\ 0 & \lambda-2 & -2 \\ -2 & -2 & \lambda-4 \end{vmatrix} = \lambda(\lambda-2)(\lambda-6).$$ 特征值为 $\lambda_1=0$，$\lambda_2=2$，$\lambda_3=6$。

对于 $\lambda=0$，解 $(0I-B)x=0$：$-2x_1-2x_3=0$，$-2x_2-2x_3=0$，$-2x_1-2x_2-4x_3=0$，得 $x_1=-x_3$，$x_2=-x_3$，取 $x_3=-1$，得 $\xi_1=(1,1,-1)^T$。 对于 $\lambda=2$，解 $(2I-B)x=0$：$0x_1+0x_2-2x_3=0$，$0x_1+0x_2-2x_3=0$，$-2x_1-2x_2-2x_3=0$，得 $x_3=0$，$x_1+x_2=0$，取 $x_1=1$，$x_2=-1$，得 $\xi_2=(1,-1,0)^T$。 对于 $\lambda=6$，解 $(6I-B)x=0$：$4x_1+0x_2-2x_3=0$，$0x_1+4x_2-2x_3=0$，$-2x_1-2x_2+2x_3=0$，得 $2x_1=x_3$，$2x_2=x_3$，取 $x_3=2$，得 $\xi_3=(1,1,2)^T$。

检查特征向量是否正交：$\xi_1\cdot\xi_2=0$，$\xi_1\cdot\xi_3=0$，$\xi_2\cdot\xi_3=0$，已正交。单位化： $$\eta_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1)^T,\quad \eta_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0)^T,\quad \eta_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2)^T.$$

正交变换矩阵 $Q = (\eta_1,\eta_2,\eta_3)$，即 $$Q = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ -\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$ 令 $X=QY$，则二次型化为标准形 $f = 2y_2^2 + 6y_3^2$（忽略零特征值对应的项）。