河海大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
15．解答如下问题：
（1）已知复数域上的 $n$ 阶方阵
$$
B=\left(\begin{array}{ccccc}
a_{1} & a_{2} & a_{3} & \cdots & a_{n} \\
a_{n} & a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} \\
a_{n-1} & a_{n} & a_{1} & \cdots & a_{n-2} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{2} & a_{3} & a_{4} & \cdots & a_{1}
\end{array}\right) .
$$
记 $\omega_{0}, \omega_{1}, \cdots, \omega_{n-1}$ 是方程 $x^{n}-1=0$ 的 $n$ 个复根．证明：对任意的 $k=0,1, \cdots, n-1$ ，向量 $\eta=\left(1, \omega_{k}, \omega_{k}^{2}, \cdots, \omega_{k}^{n-1}\right)^{\mathrm{T}}$ 是矩阵 $B$ 的特征向量。
（2）设 $A$ 为复数域上的 4 阶幂等阵 $\left(A^{2}=A\right)$ ，证明：存在 4 个复数 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}$ ，使得 $A$ 相似于
$$
\left(\begin{array}{llll}
c_{1} & c_{2} & c_{3} & c_{4} \\
c_{4} & c_{1} & c_{2} & c_{3} \\
c_{3} & c_{4} & c_{1} & c_{2} \\
c_{2} & c_{3} & c_{4} & c_{1}
\end{array}\right)
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解循环矩阵的结构
矩阵 $B$ 是循环矩阵，其每一行是上一行的循环右移。第一行元素为 $(a_1, a_2, \dots, a_n)$，第 $i$ 行（$i$ 从0开始）元素为 $(a_{1-i \mod n}, a_{2-i \mod n}, \dots, a_{n-i \mod n})$。循环矩阵可表示为 $B = \sum_{j=0}^{n-1} a_{j+1} P^j$，其中 $P$ 是置换矩阵：$P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$。
公式：B = \sum_{j=0}^{n-1} a_{j+1} P^j
提示：注意索引从0开始，循环移位方向一致。
步骤 2/7
目标：计算置换矩阵的特征向量
令 $\omega_k = e^{2\pi i k / n}$，$k=0,1,\dots,n-1$，则向量 $\eta_k = (1, \omega_k, \omega_k^2, \dots, \omega_k^{n-1})^T$ 满足 $P \eta_k = \omega_k \eta_k$。因为 $P$ 的作用是循环移位：$P (x_0, x_1, \dots, x_{n-1})^T = (x_{n-1}, x_0, \dots, x_{n-2})^T$，代入 $\eta_k$ 验证即可。
公式：P \eta_k = \omega_k \eta_k
提示：验证时注意 $\omega_k^n = 1$。
步骤 3/7
目标：计算B作用于特征向量
利用 $B = \sum_{j=0}^{n-1} a_{j+1} P^j$，有 $B \eta_k = \sum_{j=0}^{n-1} a_{j+1} P^j \eta_k = \sum_{j=0}^{n-1} a_{j+1} \omega_k^j \eta_k = \left( \sum_{j=0}^{n-1} a_{j+1} \omega_k^j \right) \eta_k$。因此 $\eta_k$ 是 $B$ 的特征向量，对应特征值 $\lambda_k = \sum_{j=0}^{n-1} a_{j+1} \omega_k^j$。
公式：B \eta_k = \lambda_k \eta_k, \quad \lambda_k = \sum_{j=0}^{n-1} a_{j+1} \omega_k^j
提示：注意 $P^j \eta_k = \omega_k^j \eta_k$ 的推导。
步骤 4/7
目标：幂等矩阵的性质
设 $A$ 是4阶幂等矩阵，即 $A^2 = A$。则 $A$ 的特征值只能是0或1，且 $A$ 可对角化（因为幂等矩阵是投影矩阵，最小多项式无重根）。存在可逆矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}AQ = \operatorname{diag}(1,\dots,1,0,\dots,0)$，其中1的个数等于 $\operatorname{rank}(A)$。
公式：A^2 = A \Rightarrow \sigma(A) \subseteq \{0,1\}
提示：幂等矩阵可对角化是重要结论。
步骤 5/7
目标：循环矩阵的对角化
对于4阶循环矩阵 $C = \begin{pmatrix} c_1 & c_2 & c_3 & c_4 \\ c_4 & c_1 & c_2 & c_3 \\ c_3 & c_4 & c_1 & c_2 \\ c_2 & c_3 & c_4 & c_1 \end{pmatrix}$，存在傅里叶矩阵 $F$ 使得 $F^{-1}CF = \operatorname{diag}(\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$，其中 $\lambda_k = c_1 + c_2 \omega_k + c_3 \omega_k^2 + c_4 \omega_k^3$，$\omega_k = e^{2\pi i k/4}$，即 $\omega_0=1, \omega_1=i, \omega_2=-1, \omega_3=-i$。
公式：F^{-1}CF = \operatorname{diag}(\lambda_0, \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)
提示：傅里叶矩阵的列是特征向量。
步骤 6/7
目标：构造循环矩阵使其特征值与A相同
设 $A$ 的秩为 $r$，则 $A$ 有 $r$ 个特征值1和 $4-r$ 个特征值0。我们需要找到 $c_1,c_2,c_3,c_4$ 使得 $\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 恰好为这些0和1（顺序可任意）。这等价于解线性方程组：
$$
\begin{cases}
c_1 + c_2 + c_3 + c_4 = \lambda_0 \\
c_1 + c_2 i - c_3 - c_4 i = \lambda_1 \\
c_1 - c_2 + c_3 - c_4 = \lambda_2 \\
c_1 - c_2 i - c_3 + c_4 i = \lambda_3
\end{cases}
$$
系数矩阵是范德蒙德矩阵，可逆，因此对任意右端项有唯一解。
公式：\lambda_k = c_1 + c_2 \omega_k + c_3 \omega_k^2 + c_4 \omega_k^3
提示：注意方程组有唯一解，因为 $"范德蒙德行列式" \neq 0$。
步骤 7/7
目标：证明相似性
由于 $A$ 和 $C$ 都可对角化为同一个对角矩阵（特征值相同），因此 $A$ 相似于 $C$。具体地，存在可逆矩阵 $Q$ 和 $F$ 使得 $Q^{-1}AQ = \operatorname{diag}(\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) = F^{-1}CF$，从而 $A = QF^{-1}CFQ^{-1} = (QF^{-1}) C (QF^{-1})^{-1}$，即 $A$ 相似于 $C$。
公式：A \sim \operatorname{diag}(\lambda_0,\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3) \sim C
提示：相似关系具有传递性。
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