河海大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．设三阶矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4\end{array}\right)$ ，三维列向量 $\alpha=(t, 1,1)^{\mathrm{T}}$ ，已知 $A \alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解线性相关的条件
由于 $A\alpha$ 与 $\alpha$ 线性相关，存在常数 $k$ 使得 $A\alpha = k\alpha$。
公式：线性相关：存在不全为零的常数使得线性组合为零，这里等价于 $A\alpha = k\alpha$
提示：注意：两个向量线性相关意味着其中一个可以表示为另一个的倍数。
步骤 2/8
目标：计算 $A\alpha$
计算矩阵乘法：$A\alpha = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t+2-2 \\ 2t+1+2 \\ 3t+0+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ 2t+3 \\ 3t+4 \end{pmatrix}$。
公式：矩阵乘法规则
提示：计算时注意符号和加法，避免计算错误。
步骤 3/8
目标：建立方程 $A\alpha = k\alpha$
由 $A\alpha = k\alpha$ 得：$\begin{pmatrix} t \\ 2t+3 \\ 3t+4 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} t \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。
提示：注意向量相等对应分量相等。
步骤 4/8
目标：写出分量方程组
比较分量得到方程组：
1. $t = kt$
2. $2t+3 = k$
3. $3t+4 = k$
提示：不要遗漏任何分量。
步骤 5/8
目标：讨论 $t$ 的取值情况
由第一式 $t = kt$，移项得 $t(1-k)=0$，所以 $t=0$ 或 $k=1$。
提示：注意分类讨论，不要直接约去 $t$ 导致失根。
步骤 6/8
目标：情况一：$t \neq 0$，则 $k=1$
若 $t \neq 0$，则 $k=1$。代入第二式：$2t+3=1 \Rightarrow t=-1$；代入第三式：$3t+4=1 \Rightarrow t=-1$，一致。
提示：代入后要检查是否满足所有方程。
步骤 7/8
目标：情况二：$t=0$，检验是否成立
若 $t=0$，则第一式恒成立。但第二式：$2\cdot0+3=k \Rightarrow k=3$；第三式：$3\cdot0+4=k \Rightarrow k=4$，矛盾。故 $t=0$ 不成立。
提示：注意 $t=0$ 时第一式自动满足，但需要检查其他方程。
步骤 8/8
目标：得出结论
因此，唯一解为 $t=-1$。
提示：最终答案要明确。
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