河海大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $A$ 是复数域 $\mathbb{C}$ 上的 $n$ 阶方阵，特征多项式为 $|\lambda E-A|=(\lambda-a)^{n-1}(\lambda-b), a, b$ 是两不等的复数．若 $A$ 的任意三个特征向量都是线性相关的，则 $A$ 的若尔当标准形为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析特征多项式，确定特征值及其代数重数
由特征多项式 $|\lambda E - A| = (\lambda - a)^{n-1}(\lambda - b)$ 可知，$A$ 的特征值为 $a$（$n-1$ 重）和 $b$（单重），且 $a \neq b$。
公式：$|\lambda E - A| = (\lambda - a)^{n-1}(\lambda - b)$
提示：注意代数重数与几何重数的区别，代数重数是特征值在特征多项式中的重数。
步骤 2/5
目标：利用条件“任意三个特征向量线性相关”推断几何重数
条件“任意三个特征向量线性相关”意味着所有特征向量构成的集合中，任意三个向量都线性相关。特别地，对于特征值 $a$，若其几何重数（即线性无关的特征向量个数）大于等于3，则可取三个线性无关的特征向量，与条件矛盾。因此，$a$ 的几何重数不超过2。又因为代数重数为 $n-1 \geq 1$，几何重数至少为1。故几何重数可能为1或2。
提示：几何重数等于特征值对应的线性无关特征向量的个数，即 $\dim \ker(A - aI)$。
步骤 3/5
目标：排除几何重数为2的可能性
假设 $a$ 的几何重数为2，则存在两个线性无关的特征向量 $\alpha_1, \alpha_2$ 属于 $a$。另外，$b$ 是单重特征值，存在一个特征向量 $\beta$ 属于 $b$。由于不同特征值的特征向量线性无关，$\alpha_1, \alpha_2, \beta$ 是三个线性无关的特征向量，与条件矛盾。因此几何重数不能为2，只能为1。
提示：不同特征值的特征向量总是线性无关的，这是线性代数中的基本结论。
步骤 4/5
目标：确定特征值a的若尔当块结构
由于 $a$ 的几何重数为1，其代数重数为 $n-1$，因此 $a$ 对应的若尔当块只有一个，且阶数为 $n-1$，即 $J_{n-1}(a)$。特征值 $b$ 是单根，对应一个1阶若尔当块 $J_1(b) = [b]$。
提示：几何重数等于若尔当块的个数，代数重数等于所有若尔当块的阶数之和。
步骤 5/5
目标：写出若尔当标准形
综合以上分析，$A$ 的若尔当标准形为 $J_{n-1}(a) \oplus J_1(b)$，即分块对角矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
J_{n-1}(a) & 0 \\
0 & b
\end{pmatrix}
$$
其中 $J_{n-1}(a)$ 是 $n-1$ 阶若尔当块，主对角线元素为 $a$，次对角线元素为1。
公式：$J = \begin{pmatrix} J_{n-1}(a) & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$
提示：若尔当标准形中，若尔当块的顺序可以交换，但通常按特征值或阶数排列。
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