河海大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
12．设 $n$ 阶方阵 $A$ 和 $B$ 满足 $A B=B+2 A$ ，且 $B$ 相似于对角矩阵，证明：存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P, P^{-1} B P$ 都是对角矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：推导A与B的关系式
由已知条件 $AB = B + 2A$，移项得 $AB - 2A = B$，即 $A(B - 2I) = B$。
公式：AB = B + 2A
提示：注意移项时不要遗漏矩阵乘法顺序，保持左乘或右乘一致。
步骤 2/6
目标：证明2不是B的特征值
假设2是B的特征值，则存在非零向量 $x$ 使得 $Bx = 2x$。代入 $A(B-2I)x = Bx$，左边为 $A(2x-2x)=A0=0$，右边为 $2x$，得 $0=2x$，矛盾。故2不是B的特征值，从而 $B-2I$ 可逆。
公式：Bx = λx
提示：反证法：假设特征值存在，推出矛盾。注意零向量不能作为特征向量。
步骤 3/6
目标：解出A的表达式
由 $A(B-2I) = B$ 且 $B-2I$ 可逆，右乘 $(B-2I)^{-1}$ 得 $A = B(B-2I)^{-1}$。
公式：A = B(B-2I)^{-1}
提示：注意矩阵乘法顺序，右乘逆矩阵。
步骤 4/6
目标：利用B可对角化进行相似变换
由于B相似于对角矩阵，存在可逆矩阵 $Q$ 使得 $Q^{-1}BQ = \Lambda$，其中 $\Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)$。因为2不是B的特征值，所以 $\lambda_i \neq 2$。
公式：Q^{-1}BQ = Λ
提示：对角化时注意特征值互异或可对角化条件。
步骤 5/6
目标：计算A的相似对角化形式
计算 $Q^{-1}AQ = Q^{-1}B(B-2I)^{-1}Q = (Q^{-1}BQ)(Q^{-1}(B-2I)Q)^{-1} = \Lambda (\Lambda - 2I)^{-1}$。由于 $\Lambda$ 是对角矩阵，$\Lambda - 2I$ 也是对角矩阵且可逆，故 $\Lambda (\Lambda - 2I)^{-1}$ 是对角矩阵。
公式：Q^{-1}AQ = Λ(Λ-2I)^{-1}
提示：注意 $(Q^{-1}(B-2I)Q)^{-1} = (Λ-2I)^{-1}$，因为 $Q^{-1}(B-2I)Q = Λ-2I$。
步骤 6/6
目标：得出结论
令 $P = Q$，则 $P^{-1}AP = \Lambda (\Lambda - 2I)^{-1}$ 和 $P^{-1}BP = \Lambda$ 都是对角矩阵。因此存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP$ 和 $P^{-1}BP$ 同时对角化。
提示：注意同时对角化的矩阵通常需要满足可交换等条件，本题通过表达式直接得到。
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