河海大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $n$ 维向量 $\alpha=(t, 0, \cdots, 0, t)^{\mathrm{T}}, t \neq 0, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵，矩阵 $\displaystyle A=E-\alpha \alpha^{\mathrm{T}}, B=E+\frac{1}{t} \alpha \alpha^{\mathrm{T}}$ ，其中 $A$ 的逆矩阵为 $B$ ，则 $t=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算向量内积
给定 $\alpha = (t, 0, \cdots, 0, t)^\mathrm{T}$，计算 $\alpha^\mathrm{T} \alpha = t^2 + t^2 = 2t^2$。
公式：$\alpha^\mathrm{T} \alpha = 2t^2$
提示：注意向量只有第一个和最后一个分量非零。
步骤 2/7
目标：计算矩阵乘积 AB
由 $A = E - \alpha \alpha^\mathrm{T}$，$B = E + \frac{1}{t} \alpha \alpha^\mathrm{T}$，得 $AB = (E - \alpha \alpha^\mathrm{T})(E + \frac{1}{t} \alpha \alpha^\mathrm{T}) = E + \frac{1}{t} \alpha \alpha^\mathrm{T} - \alpha \alpha^\mathrm{T} - \frac{1}{t} \alpha \alpha^\mathrm{T} \alpha \alpha^\mathrm{T}$。
公式：$AB = E + \frac{1}{t} \alpha \alpha^\mathrm{T} - \alpha \alpha^\mathrm{T} - \frac{1}{t} \alpha \alpha^\mathrm{T} \alpha \alpha^\mathrm{T}$
提示：展开时注意矩阵乘法顺序。
步骤 3/7
目标：化简 $\alpha \alpha^\mathrm{T} \alpha \alpha^\mathrm{T}$
利用结合律：$\alpha \alpha^\mathrm{T} \alpha \alpha^\mathrm{T} = \alpha (\alpha^\mathrm{T} \alpha) \alpha^\mathrm{T} = \alpha (2t^2) \alpha^\mathrm{T} = 2t^2 \alpha \alpha^\mathrm{T}$。
公式：$\alpha \alpha^\mathrm{T} \alpha \alpha^\mathrm{T} = 2t^2 \alpha \alpha^\mathrm{T}$
提示：注意 $\alpha^\mathrm{T} \alpha$ 是标量。
步骤 4/7
目标：代入化简 AB
代入得 $AB = E + \left(\frac{1}{t} - 1 - \frac{2t^2}{t}\right) \alpha \alpha^\mathrm{T} = E + \left(\frac{1}{t} - 1 - 2t\right) \alpha \alpha^\mathrm{T}$。
公式：$AB = E + \left(\frac{1}{t} - 1 - 2t\right) \alpha \alpha^\mathrm{T}$
提示：合并同类项时注意系数。
步骤 5/7
目标：利用逆矩阵条件建立方程
由 $A^{-1} = B$ 得 $AB = E$，所以 $\frac{1}{t} - 1 - 2t = 0$。
公式：$\frac{1}{t} - 1 - 2t = 0$
提示：注意 $\alpha \alpha^\mathrm{T}$ 非零，系数必须为零。
步骤 6/7
目标：解方程求 t
方程化为 $2t + 1 - \frac{1}{t} = 0$，两边乘以 $t$ 得 $2t^2 + t - 1 = 0$，解得 $t = \frac{1}{2}$ 或 $t = -1$。
公式：$2t^2 + t - 1 = 0$
提示：注意 $t \neq 0$，两个解均满足。
步骤 7/7
目标：验证解的有效性
当 $t = -1$ 时，$B = E - \alpha \alpha^\mathrm{T} = A$，$A^2 = E$ 成立；当 $t = \frac{1}{2}$ 时，$AB = E$ 也成立。两个解均使 $A$ 可逆且 $A^{-1} = B$。
提示：验证 $A$ 的特征值 $1-2t^2$ 非零，确保可逆。
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