河海大学 2026年高等代数第0题

已知 $D = \begin{pmatrix} A & C \\ C^{\mathrm{T}} & B \end{pmatrix}$ 是正定矩阵，其中 $A$ 是 $m$ 阶实对称矩阵，$B$ 是 $n$ 阶实对称矩阵。正定矩阵的所有顺序主子式大于零，因此 $A$ 的顺序主子式 $|A|>0$，故 $A$ 正定。

由于 $A$ 正定，则 $A$ 可逆，且 $A^{-1}$ 也是实对称正定矩阵。这是因为正定矩阵的逆矩阵也是正定的。

考虑分块矩阵的合同变换，左乘矩阵 $\begin{pmatrix} I_m & 0 \\ -C^{\mathrm{T}} A^{-1} & I_n \end{pmatrix}$，右乘其转置 $\begin{pmatrix} I_m & -A^{-1} C \\ 0 & I_n \end{pmatrix}$。注意 $\begin{pmatrix} I_m & 0 \\ -C^{\mathrm{T}} A^{-1} & I_n \end{pmatrix}^{\mathrm{T}} = \begin{pmatrix} I_m & -A^{-1} C \\ 0 & I_n \end{pmatrix}$。

计算： $$ \begin{pmatrix} I_m & 0 \\ -C^{\mathrm{T}} A^{-1} & I_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A & C \\ C^{\mathrm{T}} & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_m & -A^{-1} C \\ 0 & I_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B - C^{\mathrm{T}} A^{-1} C \end{pmatrix}. $$ 具体计算过程：先左乘，得 $\begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B - C^{\mathrm{T}} A^{-1} C \end{pmatrix}$，再右乘，得 $\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B - C^{\mathrm{T}} A^{-1} C \end{pmatrix}$。

合同变换不改变矩阵的正定性：若 $D$ 正定，则对任意可逆矩阵 $P$，$P^{\mathrm{T}} D P$ 也正定。这里 $P = \begin{pmatrix} I_m & -A^{-1} C \\ 0 & I_n \end{pmatrix}$ 可逆，因此变换后的矩阵 $\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B - C^{\mathrm{T}} A^{-1} C \end{pmatrix}$ 正定。

分块对角矩阵 $\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & S \end{pmatrix}$ 正定当且仅当 $A$ 和 $S$ 都正定。因为其二次型可分解为 $x^{\mathrm{T}} A x + y^{\mathrm{T}} S y$，对所有非零向量 $(x,y)$ 为正。

由于 $A$ 正定，且 $\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B - C^{\mathrm{T}} A^{-1} C \end{pmatrix}$ 正定，因此 $B - C^{\mathrm{T}} A^{-1} C$ 必为正定矩阵。