河海大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
7．已知方程组
$$
(\mathrm{I}):\left\{\begin{array}{l}
2 x_{1}+x_{2}-x_{3}=1, \\
x_{1}-x_{2}+x_{3}=2, \\
4 x_{1}+5 x_{2}-5 x_{3}=-1 .
\end{array}\right.
$$
与方程组
$$
\text { (II) : }\left\{\begin{array}{l}
a x_{1}+b x_{2}-x_{3}=0 \\
2 x_{1}-x_{2}+a x_{3}=3
\end{array}\right.
$$
同解，求 $a, b$ 的值以及方程组的通解．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：解方程组(I)并化为行最简形
写出增广矩阵并进行初等行变换：
$$
\begin{pmatrix}
2 & 1 & -1 & 1 \\
1 & -1 & 1 & 2 \\
4 & 5 & -5 & -1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_1 \leftrightarrow R_2}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 2 \\
2 & 1 & -1 & 1 \\
4 & 5 & -5 & -1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2-2R_1, R_3-4R_1}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 3 & -3 & -3 \\
0 & 9 & -9 & -9
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2/3}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 9 & -9 & -9
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_3-9R_2}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1 & 2 \\
0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_1+R_2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：注意行变换的顺序，避免计算错误。
步骤 2/6
目标：写出方程组(I)的通解
由行最简形得：
$$
\begin{cases}
x_1 = 1, \\
x_2 = -1 + x_3, \\
x_3 = x_3
\end{cases}
$$
其中$x_3$为自由变量。通解为：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ k
\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix},\quad k \in \mathbb{R}.
$$
提示：自由变量取任意常数，注意解的结构。
步骤 3/6
目标：利用同解条件代入方程组(II)
由于(I)与(II)同解，将(I)的通解代入(II)的两个方程，得到关于$k$的恒等式。
代入第一个方程：
$$
a \cdot 1 + b(-1+k) - k = 0 \\
a - b + bk - k = 0 \\
(a - b) + (b-1)k = 0 \quad \forall k \in \mathbb{R}.
$$
代入第二个方程：
$$
2 \cdot 1 - (-1+k) + a \cdot k = 3 \\
2 + 1 - k + a k = 3 \\
3 + (a-1)k = 3 \\
(a-1)k = 0 \quad \forall k \in \mathbb{R}.
$$
提示：恒等式要求所有系数为零，注意对任意k成立。
步骤 4/6
目标：求解参数a和b
由第一个方程得：
$$
\begin{cases}
a - b = 0, \\
b - 1 = 0.
\end{cases}
$$
解得$b=1$，$a=1$。
由第二个方程得：$a-1=0$，即$a=1$，与前面一致。
因此$a=1$，$b=1$。
提示：注意两个方程都要满足，结果需一致。
步骤 5/6
目标：验证方程组(II)的解与(I)相同
将$a=1,b=1$代入(II)：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 = 0, \\
2x_1 - x_2 + x_3 = 3.
\end{cases}
$$
写出增广矩阵并化简：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 0 \\
2 & -1 & 1 & 3
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2-2R_1}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 0 \\
0 & -3 & 3 & 3
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_2/(-3)}
\begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1 & -1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{R_1-R_2}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & -1 & -1
\end{pmatrix}
$$
得解$x_1=1$，$x_2=-1+x_3$，$x_3$自由，通解与(I)相同。
提示：验证可确保参数正确。
步骤 6/6
目标：写出最终答案
参数$a=1$，$b=1$，方程组(I)和(II)的通解为：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ k
\begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix},\quad k \in \mathbb{R}.
$$
提示：通解形式要写清楚，包括自由参数。
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