河海大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $A, B$ 为三阶矩阵，$|A|=3,|B|=2,\left|3 A^{-1}+2 B\right|=2$ ，则 $\left|2 A+3 B^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：提取因子并利用已知条件
已知 $|A|=3$, $|B|=2$, $|3A^{-1}+2B|=2$。将 $|3A^{-1}+2B|$ 写成 $|B(3B^{-1}A^{-1}+2I)| = |B| \cdot |3B^{-1}A^{-1}+2I|$，代入 $|B|=2$ 得 $2 \cdot |3B^{-1}A^{-1}+2I| = 2$，所以 $|3B^{-1}A^{-1}+2I| = 1$。
公式：|XY| = |X||Y|
提示：注意矩阵乘法顺序：$B(3B^{-1}A^{-1}+2I) = 3BB^{-1}A^{-1}+2B = 3A^{-1}+2B$，正确。
步骤 2/5
目标：将目标行列式类似变形
目标 $|2A+3B^{-1}|$ 可写为 $|A(2I+3A^{-1}B^{-1})| = |A| \cdot |2I+3A^{-1}B^{-1}| = 3 \cdot |2I+3A^{-1}B^{-1}|$。
公式：|XY| = |X||Y|
提示：注意 $A^{-1}B^{-1} = (BA)^{-1}$，与上一步的 $B^{-1}A^{-1}$ 不同。
步骤 3/5
目标：引入矩阵 $M=AB$ 并建立联系
设 $M = AB$，则 $M$ 可逆且 $|M| = |A||B| = 6$。注意 $B^{-1}A^{-1} = (AB)^{-1} = M^{-1}$，而 $A^{-1}B^{-1} = (BA)^{-1}$，但 $BA$ 与 $AB$ 相似？实际上，$BA$ 与 $AB$ 有相同特征值，但这里我们需要 $|2I+3(BA)^{-1}|$。不过，由 $|3B^{-1}A^{-1}+2I| = 1$ 得 $|3M^{-1}+2I| = 1$。
提示：注意 $B^{-1}A^{-1} = (AB)^{-1}$，而 $A^{-1}B^{-1} = (BA)^{-1}$，两者一般不等，但行列式相等？实际上，$|I+XY| = |I+YX|$，所以 $|I+3M^{-1}|$ 与 $|I+3(BA)^{-1}|$ 不一定相等，但这里我们直接处理 $M$。
步骤 4/5
目标：利用 $|3M^{-1}+2I| = 1$ 求 $|2I+3M^{-1}|$
由 $|3M^{-1}+2I| = 1$，即 $|2I+3M^{-1}| = 1$。注意 $|2I+3M^{-1}|$ 正是我们需要的 $|2I+3A^{-1}B^{-1}|$？不，我们需要 $|2I+3A^{-1}B^{-1}|$，而 $A^{-1}B^{-1} = (BA)^{-1}$，不是 $M^{-1}$。但我们可以利用 $|I+XY| = |I+YX|$ 的性质：$|2I+3A^{-1}B^{-1}| = |2I+3(BA)^{-1}|$，而 $|2I+3M^{-1}| = |2I+3(AB)^{-1}|$。由于 $AB$ 与 $BA$ 相似，$|2I+3(AB)^{-1}| = |2I+3(BA)^{-1}|$，所以 $|2I+3A^{-1}B^{-1}| = |2I+3M^{-1}| = 1$。
公式：|I+XY| = |I+YX|
提示：注意 $AB$ 与 $BA$ 相似当它们可逆时，但一般情况也有相同非零特征值，因此 $|I+c(AB)^{-1}| = |I+c(BA)^{-1}|$。
步骤 5/5
目标：计算目标行列式
由前两步，$|2A+3B^{-1}| = 3 \cdot |2I+3A^{-1}B^{-1}| = 3 \cdot 1 = 3$。
提示：注意不要漏掉因子 $|A|=3$。
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